Loading...
Loading...
এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ৪টি প্রশ্ন — অসমতা (xz<yz), বিতর্কিত (a-1/a=3), মান নির্ণয় (a+b=7,a²+b²=25), উৎপাদক (3x³+2x²-21x-20)।
বিকল্প: (ক) xz > yz • (খ) x/z > y/z • (গ) z/x < z/y • (ঘ) xz < yz ✓
ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ/ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়। x > y গুণ ঋণাত্মক z → xz < yz।
| ক্রিয়া | চিহ্ন | উদাহরণ |
|---|---|---|
| ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগ | একই | x>y, z>0 → xz>yz |
| ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগ | উল্টে যায় | x>y, z<0 → xz<yz |
| উভয় পক্ষে যোগ/বিয়োগ | একই | x>y → x+a > y+a |
| বিপরীত পক্ষ-উভয়পক্ষে নেওয়া | উল্টে যায় | x>y → -x<-y |
বিকল্প: (ক) ৯ • (খ) ১৮ • (গ) ২৭ • (ঘ) ৩৬
বোর্ডের নোট: প্রশ্নে ভুল আছে। চারটি অপশনই isCorrect: false — কোনোটাই সঠিক নয়।
'a - 1/a = 3' দিয়ে a³ - 1/a³ পাওয়া যায়, a³ + 1/a³ নয়।
সূত্র: a³ - 1/a³ = (a - 1/a)³ + 3(a - 1/a) = ৩³ + ৩×৩ = ২৭ + ৯ = ৩৬
তবে এটি a³ + 1/a³ নয়, a³ - 1/a³।
সূত্র: a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3(a + 1/a) = ৩³ - ৩×৩ = ২৭ - ৯ = ১৮ (অপশন খ)
তাই বোর্ডের অনুমান: 'a - 1/a = 3'-এর জায়গায় 'a + 1/a = 3' হলে সঠিক উত্তর হতো ১৮।
| সূত্র |
|---|
| (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| (a - b)² = a² - 2ab + b² |
| (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) |
| (a + b)² - (a - b)² = 4ab |
| a² - b² = (a + b)(a - b) |
| (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a+b) |
| (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = a³ - b³ - 3ab(a-b) |
| a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) = (a+b)(a² - ab + b²) |
| a³ - b³ = (a-b)³ + 3ab(a-b) = (a-b)(a² + ab + b²) |
| (a + 1/a)³ = a³ + 1/a³ + 3(a + 1/a) → a³ + 1/a³ = (a+1/a)³ - 3(a+1/a) |
| (a - 1/a)³ = a³ - 1/a³ - 3(a - 1/a) → a³ - 1/a³ = (a-1/a)³ + 3(a-1/a) |
বিকল্প: (ক) ১২ ✓ • (খ) ১০ • (গ) ৬ • (ঘ) কোনোটিই নয়
(a+b)² = a² + 2ab + b² → ৭² = ২৫ + 2ab → 2ab = ২৪ → ab = ১২।
যদি ab = ১২ ও a+b = ৭ হয়, তাহলে a ও b দ্বিঘাত সমীকরণ x² - ৭x + ১২ = ০ এর মূল।
বিকল্প: (ক) x + 2 • (খ) x - 2 • (গ) x + 1 ✓ • (ঘ) x - 1
Factor Theorem: যদি P(a) = 0 হয়, তাহলে (x - a) একটি উৎপাদক। যাচাই: x = -1 → 3(-1)³ + 2(-1)² - 21(-1) - 20 = -3+2+21-20 = 0 ✓ → (x+1) উৎপাদক।
বহুপদী P(x)-এ যদি P(a) = 0 হয়, তাহলে (x - a) একটি উৎপাদক।
| অপশন | x | P(x) মান |
|---|---|---|
| x + 2 | -2 | 3(-8) + 2(4) - 21(-2) - 20 = -24+8+42-20 = ৬ ≠ 0 |
| x - 2 | 2 | 3(8) + 2(4) - 21(2) - 20 = 24+8-42-20 = -৩০ ≠ 0 |
| x + 1 | -1 | 3(-1) + 2(1) + 21 - 20 = -3+2+21-20 = ০ ✓ |
| x - 1 | 1 | 3 + 2 - 21 - 20 = -৩৬ ≠ 0 |
যখন (x+1) একটি উৎপাদক জানা গেছে, ভাগ করে অন্য উৎপাদক বের করা যায়:
3x³ + 2x² - 21x - 20 = (x + 1)(3x² + ax + b)
সিনথেটিক ডিভিশন (x = -1):
-1 | 3 2 -21 -20
| -3 1 20
----------------------
3 -1 -20 0
ফলাফল: (x + 1)(3x² - x - 20) = (x + 1)(3x - ?)(x + ?)
3x² - x - 20 = 3x² - 12x + 11x - 20 — না, mismatch।
বরং: 3x² - x - 20 → ৩×(-২০)=−৬০; পার্থক্য −১, যা মাঝে আনে −৫+৪ = -১ — না, ৪+(-৫)=-১ ✓
তাই 3x² - x - 20 = 3x² - 5x + 4x - 20 = x(3x - 5) + 4(x - 5)... না — মেলে না।
বরং 3x² - x - 20: a=3, b=-1, c=-20। discriminant = 1 + 240 = 241। অপ্রকৃত মূল।
তাই উৎপাদকীকরণ: 3x³ + 2x² - 21x - 20 = (x+1) × (3x² - x - 20)। এটি যথেষ্ট।
সম্ভাব্য মূলগুলো হলো: ±(20-এর গুণনীয়ক)/(3-এর গুণনীয়ক) = ±{1, 2, 4, 5, 10, 20, 1/3, 2/3, 4/3...}।
বেছে নিয়ে চেষ্টা: x = -1 → 0 → মূল (এবং (x+1) উৎপাদক)।
বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও উৎপাদক — মূল লেকচার শিট — ৩০+ বীজগাণিতিক সূত্র, উৎপাদক উপপাদ্য, সিনথেটিক ডিভিশন, যৌক্তিক মূল উপপাদ্য, অসমতা ও পরিচয়মূলক সমীকরণের পূর্ণাঙ্গ আলোচনা।