মৌলিক সংখ্যা ও উৎপাদক — লেকচার শিট

এই লেকচারে কী শিখবে

সংখ্যাতত্ত্বের সবচেয়ে মৌলিক ইট হলো মৌলিক সংখ্যা। $1$-এর চেয়ে বড় প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা মৌলিকের গুণফল দিয়ে তৈরি। BdMO জুনিয়রে প্রায় প্রতি বছর এই টপিক থেকে একাধিক সমস্যা আসে।

এই শিটে ধাপে ধাপে শিখবে: মৌলিকতা পরীক্ষা, জোড়-বিজোড় যুক্তি, মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ, ভাজকের সংখ্যা, পূর্ণবর্গ-পূর্ণঘন চেনা আর বর্গের অন্তর দিয়ে মৌলিকের সমীকরণ।

১. মৌলিক, যৌগিক আর $1$

উৎপাদক (ভাজক) কাকে বলে আগে পরিষ্কার করি: $d$ সংখ্যাটি $n$-এর উৎপাদক, যদি $n$-কে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $0$ হয়। যেমন $12$-এর উৎপাদক $1, 2, 3, 4, 6, 12$ — মোট ৬টি।

যেকোনো $n \gt 1$-এর অন্তত দুটি উৎপাদক থাকেই: $1$ আর $n$ নিজে। এখান থেকে সংজ্ঞা:

• মৌলিক সংখ্যা: $1$-এর চেয়ে বড় যে সংখ্যার উৎপাদক ঠিক দুটি — $1$ আর সংখ্যাটি নিজে। যেমন $2, 3, 5, 7, 11, 13$।
• যৌগিক সংখ্যা: $1$-এর চেয়ে বড় যে সংখ্যার দুটির বেশি উৎপাদক আছে। যেমন $4, 6, 9, 15$।
• $1$ মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয়। এর উৎপাদক মাত্র একটি।

$1$-কে মৌলিক ধরলে $6 = 2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3$ — বিশ্লেষণ আর একটা থাকত না।

$2$ একমাত্র জোড় মৌলিক। কারণ অন্য যেকোনো জোড় সংখ্যার $1$, $2$ আর নিজে — অন্তত ৩টি উৎপাদক আছে। এই ছোট্ট তথ্যটা এই টপিকের সবচেয়ে কাজের অস্ত্র, অংশ ৩-এ দেখবে।

২. মৌলিকতা পরীক্ষা ও ছাঁকনি

বর্গমূল পর্যন্ত দেখলেই যথেষ্ট — কেন?

ধরো $n$ যৌগিক, তাহলে $n = a \times b$ লেখা যায় যেখানে $1 \lt a \le b$। দুটিই যদি $\sqrt{n}$-এর চেয়ে বড় হতো, তাহলে $a \times b \gt \sqrt{n} \times \sqrt{n} = n$ — অসম্ভব। তাই ছোটটা $a \le \sqrt{n}$। আর $a$-এর যেকোনো মৌলিক উৎপাদকও $n$-কে ভাগ করে। সিদ্ধান্ত:

$n$ মৌলিক কি না দেখতে শুধু $\sqrt{n}$ পর্যন্ত মৌলিকগুলো দিয়ে ভাগ করে দেখো। কেউ ভাগ না করলে $n$ মৌলিক।

উদাহরণ ১। $211$ কি মৌলিক? $14^{2} = 196$ আর $15^{2} = 225$, তাই $\sqrt{211}$ হলো $14$ ও $15$-এর মাঝে। দেখতে হবে শুধু $2, 3, 5, 7, 11, 13$।

• $211$ বিজোড়, অঙ্কের যোগফল $4$ ($3$-এর গুণিতক নয়), শেষ অঙ্ক $1$ — তাই $2, 3, 5$ বাদ।
• $7 \times 30 = 210$, $11 \times 19 = 209$, $13 \times 16 = 208$ — কোনোটাতেই ভাগ মেলে না।

তাই $211$ মৌলিক।

উদাহরণ ২। "ছদ্মবেশী" যৌগিক: $51 = 3 \times 17$, $57 = 3 \times 19$, $91 = 7 \times 13$, $143 = 11 \times 13$, $221 = 13 \times 17$।

দ্রুত বাদ দেওয়ার নিয়ম

ভাজক	কখন ভাগ যায়
$2$	শেষ অঙ্ক জোড়
$3$	অঙ্কগুলোর যোগফল $3$-এর গুণিতক
$5$	শেষ অঙ্ক $0$ বা $5$

$3$-এর চেয়ে বড় প্রতিটি মৌলিক $6k - 1$ বা $6k + 1$ আকারের ($6k + 2$, $6k + 3$, $6k + 4$ সবাই $2$ বা $3$-এর গুণিতক)।

ইরাটোস্থেনিসের ছাঁকনি

$N$ পর্যন্ত সব মৌলিক চাইলে: $2$ রেখে তার গুণিতক কাটো, তারপর $3$, এভাবে $\sqrt{N}$ পর্যন্ত মৌলিক দিয়ে। যা টিকে থাকে, সবাই মৌলিক।

মনে রাখো: $10$, $25$, $50$, $100$ পর্যন্ত মৌলিক যথাক্রমে ৪, ৯, ১৫, ২৫টি।

$n!$-এর মৌলিক উৎপাদক

$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$। কোনো মৌলিক $p$ এই গুণফলকে ভাগ করে ঠিক তখন, যখন $p \le n$। কারণ $p \le n$ হলে $p$ নিজেই একটি গুণ্য; আর মৌলিক $p$ গুণফলকে ভাগ করলে কোনো একটি গুণ্যকে ভাগ করে, যা $p \gt n$ হলে অসম্ভব।

উদাহরণ ৩। $50!$-এর বৃহত্তম মৌলিক উৎপাদক কত? $50$ থেকে নিচে নামো: $50, 49 = 7^{2}, 48$ বাদ, $47$ মৌলিক। উত্তর $47$। আর $30!$-কে ভাগ করে না এমন ক্ষুদ্রতম মৌলিক হলো $31$।

মোচড়: "$p^{2}$ ভাগ করে" চাইলে $1$ থেকে $n$-এর মধ্যে $p$-এর অন্তত দুটি গুণিতক ($p$ ও $2p$) লাগবে, অর্থাৎ $2p \le n$। যেমন $p^{2}$ যদি $30!$-কে ভাগ করে, বৃহত্তম $p = 13$।

যেসব সমস্যায় লাগে: সমস্যা ৫ (সমাধান পর্ব ১), সমস্যা ২ (সমাধান পর্ব ১), সমস্যা ১১ (সমাধান পর্ব ২)।

৩. জোড়-বিজোড় যুক্তি: "$2$ কি এখানে আছে?"

বিজোড় সংখ্যা যোগ করার নিয়ম:

• জোড় সংখ্যক বিজোড়ের যোগফল জোড় ($3 + 5 = 8$)।
• বিজোড় সংখ্যক বিজোড়ের যোগফল বিজোড় ($3 + 5 + 7 = 15$)।

$2$ ছাড়া সব মৌলিক বিজোড়। তাই কয়েকটি মৌলিকের যোগফল দেওয়া থাকলে গুনে দেখো কয়টি মৌলিক, আর যোগফল জোড় না বিজোড়। হিসাব না মিললে তালিকায় $2$ আছেই।

উদাহরণ ৪। দুটি মৌলিকের অন্তর $17$। সংখ্যা দুটি কী? দুটি বিজোড়ের অন্তর জোড় হয়, অথচ $17$ বিজোড়। তাই ছোটটি $2$, বড়টি $19$।

উদাহরণ ৫। তিনটি মৌলিকের যোগফল $50$ (জোড়)। তিনটি বিজোড়ের যোগফল বিজোড় হতো, তাই একটি অবশ্যই $2$, বাকি দুটির যোগফল $48$।

ঘাতের জোড়-বিজোড়

জোড় সংখ্যার যেকোনো ধনাত্মক ঘাত জোড়, বিজোড় সংখ্যার যেকোনো ঘাত বিজোড়। অর্থাৎ $b \ge 1$ হলে $a^{b}$ আর $a$-এর জোড়-বিজোড় একই। যেমন $7^{100} + 4^{3}$ = বিজোড় + জোড় = বিজোড় — বিশাল সংখ্যাটা হিসাব করতেই হলো না।

আরেকটি দরকারি তথ্য: $n(n+1)$ সবসময় জোড়, কারণ পরপর দুটি সংখ্যার একটি জোড়। তাই $n^{2} + n + 3 = n(n+1) + 3$ সবসময় বিজোড়।

যেসব সমস্যায় লাগে: সমস্যা ৬ (সমাধান পর্ব ১), সমস্যা ১ (সমাধান পর্ব ১), সমস্যা ৭ (সমাধান পর্ব ১), সমস্যা ১৪ (সমাধান পর্ব ২), সমস্যা ১০ (সমাধান পর্ব ২), সমস্যা ১৫ (সমাধান পর্ব ৩)।

সমস্যা ৭ (সমাধান পর্ব ১)-এ রাকিব দুজনের চেয়েই বড় আর বয়স $100$-এর কম হলে উত্তর $154$; ছোট ভাই রাকিবের সমান বয়সী হতে পারলে $242$, $101$ বছরও চললে $19594$। MCQ-তে প্রথম শর্তটা লেখা থাকে।

৪. মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ

পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য (fundamental theorem of arithmetic): $1$-এর চেয়ে বড় প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে লেখা যায়, আর ক্রম বাদ দিলে এই লেখা একটাই।

যৌগিক টুকরোকে বারবার ছোট দুটি সংখ্যায় ভাঙতে থাকো; একসময় সব টুকরো মৌলিক হয়ে থামে — এটাই উৎপাদক-গাছ:

ভাঙার নিয়ম: ছোট মৌলিক থেকে শুরু করো, যতক্ষণ ভাগ যায় ভাগ করো, তারপর পরের মৌলিক। ভাগফলের বর্গমূল পেরিয়ে গেলে বাকিটা মৌলিক।

উদাহরণ ৬। তিনটি ভিন্ন মৌলিকের গুণফল $1001$। তাদের যোগফল কত? $1001$ বিজোড়, $3$ বা $5$ দিয়ে ভাগ যায় না; $1001 = 7 \times 143$, আর $143 = 11 \times 13$। বিশ্লেষণ একটাই, তাই মৌলিক তিনটি নিশ্চিতভাবে $7, 11, 13$ — যোগফল $31$। অনুমান করার দরকার নেই।

বারবার গুণ মানে ঘাত

কোনো প্রক্রিয়ায় বারবার $\times 2$, $\times 3$ হলে গুনে দেখো কতবার কোনটা হলো, ফলাফল হবে $2^{m} \times 3^{n}$। পালা করে আসা প্রক্রিয়ায় এক পূর্ণ পালাকে একক ধরো: "দ্বিগুণ, তারপর তিনগুণ" = এক পালায় $\times 6$।

সংখ্যাটিকে $a^{b}$ আকারে লেখা

$N = a^{b}$ হলে $b$ অবশ্যই $N$-এর সব মৌলিকের ঘাতের সাধারণ উৎপাদক। যেমন $2^{12} \times 3^{8}$-এ $b = 4$ নিলে $a = 2^{3} \times 3^{2} = 72$। $a$-এর পরিসর দেওয়া থাকলে তা দিয়েই $b$ ঠিক হয়।

কয়েকটি শর্ত একসঙ্গে

প্রশ্নে "অমুকের গুণিতক", "মৌলিক উৎপাদকের যোগফল", "ঠিক $k$টি উৎপাদক" একসঙ্গে থাকলে শর্তগুলোকে আলাদা কাজে লাগাও: গুণিতক শর্ত বলে কোন মৌলিক নিশ্চিত আছে, মৌলিকের যোগফল বলে আর কোন মৌলিক আছে (প্রতিটি মৌলিক একবারই যোগ হয়, ঘাত যত বড়ই হোক), আর ভাজকের সংখ্যা ঠিক করে ঘাত (পরের অংশ)।

যেসব সমস্যায় লাগে: সমস্যা ৪ (সমাধান পর্ব ১), সমস্যা ১৬ (সমাধান পর্ব ৩), সমস্যা ১৮ (সমাধান পর্ব ৩)।

৫. ভাজকের সংখ্যা: $d(n) = (a+1)(b+1)\cdots$

$12 = 2^{2} \times 3$-এর প্রতিটি ভাজক দেখতে $2^{x} \times 3^{y}$, যেখানে $x$ হতে পারে $0, 1, 2$ (৩ রকম) আর $y$ হতে পারে $0, 1$ (২ রকম)। নিচের ছকে প্রতিটি ঘর একটি ভাজক:

	$2^{0}$	$2^{1}$	$2^{2}$
$3^{0}$	$1$	$2$	$4$
$3^{1}$	$3$	$6$	$12$

মোট $3 \times 2 = 6$টি ভাজক। ঘাত $0$ থেকে শুরু হয় বলেই প্রতিটি ঘাতে $1$ যোগ হয়। সাধারণভাবে:

এখান থেকে: $d(n) = 2$ হলে একমাত্র উপায় $n = p^{1}$ (মৌলিক); $d(n) = 3$ হলে $n = p^{2}$ (মৌলিকের বর্গ)। আর ভাজক জোড়ায় জোড়ায় আসে ($d$ আর $n/d$), তাই $d(n)$ বিজোড় হয় শুধু পূর্ণবর্গের বেলায়।

উদাহরণ ৭। $360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$, তাই $d(360) = 4 \times 3 \times 2 = 24$।

ঠিক $k$টি ভাজকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা

উল্টো প্রশ্ন: ঠিক $k$টি ভাজক আছে এমন সবচেয়ে ছোট সংখ্যা কোনটি? পদ্ধতি:

ধাপ ১। $k$-কে ($1$-এর চেয়ে বড়) গুণনীয়কের গুণফল হিসেবে সব রকমে লেখো।

ধাপ ২। প্রতিটি গুণনীয়ক থেকে $1$ বাদ দিলে ঘাত পাবে। ঘাতগুলো বড় থেকে ছোট সাজিয়ে বড় ঘাত দাও ছোট মৌলিককে ($2$, তারপর $3$, তারপর $5$ …)।

ধাপ ৩। সব প্রার্থী তুলনা করে ছোটটা নাও। শুধু একটা ভাঙন দেখে থেমে যেও না।

উদাহরণ ৮। ঠিক $18$টি ভাজকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা:

$18$-এর ভাঙন	ঘাত	প্রার্থী
$18$	$17$	$2^{17} = 131072$
$9 \times 2$	$8, 1$	$2^{8} \times 3 = 768$
$6 \times 3$	$5, 2$	$2^{5} \times 3^{2} = 288$
$3 \times 3 \times 2$	$2, 2, 1$	$2^{2} \times 3^{2} \times 5 = 180$

উত্তর $180$। শর্ত বদলালে (যেমন "বিজোড় সংখ্যা") একই ছক, শুধু মৌলিক শুরু হবে $3$ থেকে।

যেসব সমস্যায় লাগে: সমস্যা ৮ (সমাধান পর্ব ২), সমস্যা ১২ (সমাধান পর্ব ২), সমস্যা ১৭ (সমাধান পর্ব ৩), সমস্যা ১৮ (সমাধান পর্ব ৩)।

সমস্যা ৮ (সমাধান পর্ব ২)-এ $c = a - b$ (তাই $a \gt b$) পড়লে সংখ্যা $972$, উৎপাদক $18$টি; $a \lt b$ পড়লে $792$, উৎপাদক $24$টি। MCQ-তে $c = a - b$ লেখা থাকে।

৬. পূর্ণবর্গ, পূর্ণঘন ও $k$-তম ঘাত — ঘাত দেখে চেনা

$m^{2}$-এর বিশ্লেষণে প্রতিটি মৌলিকের ঘাত $m$-এর ঘাতের দ্বিগুণ। তাই:

একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ ঠিক তখন, যখন তার প্রতিটি মৌলিকের ঘাত জোড়; পূর্ণঘন ঠিক তখন, যখন প্রতিটি ঘাত $3$-এর গুণিতক; $k$-তম ঘাত হলে প্রতিটি ঘাত $k$-এর গুণিতক।

উদাহরণ ৯। $18k$ পূর্ণঘন হলে ক্ষুদ্রতম $k$ কত? $18 = 2^{1} \times 3^{2}$। ঘাতগুলোকে $3$-এ তুলতে লাগবে আরও $2^{2}$ আর $3^{1}$, তাই $k = 12$ এবং $18 \times 12 = 216 = 6^{3}$।

পূর্ণবর্গ/পূর্ণঘন ভাজক গোনা

$N = 2^{6} \times 3^{4} \times 5^{3}$-এর কতগুলো ভাজক পূর্ণবর্গ? ভাজক $2^{x} 3^{y} 5^{z}$ পূর্ণবর্গ হতে প্রতিটি ঘাত জোড় হতে হবে:

• $x$ হতে পারে $0, 2, 4, 6$ → ৪ রকম;
• $y$ হতে পারে $0, 2, 4$ → ৩ রকম;
• $z$ হতে পারে $0, 2$ → ২ রকম।

মোট $4 \times 3 \times 2 = 24$টি। সাধারণ নিয়ম: ঘাত $e$ হলে $k$-এর গুণিতক বাছাই করা যায় $\lfloor e/k \rfloor + 1$ রকমে। ঘাত $0$ ভুলো না — $1$ নিজেও পূর্ণবর্গ ও পূর্ণঘন। "বর্গও আবার ঘনও" মানে ঘাত $6$-এর গুণিতক।

অদলবদল করা দুই রাশি

$x y^{2}$ আর $y x^{2}$-এর মতো রাশিতে (একই অক্ষর, ঘাত উল্টো) গুণ করে দেখো: $x y^{2} \cdot y x^{2} = x^{3} y^{3} = (xy)^{3}$। তাই একটি ঘন হলে অন্যটিও ঘন হতে বাধ্য।

যেসব সমস্যায় লাগে: সমস্যা ১৩ (সমাধান পর্ব ২), সমস্যা ১৯ (সমাধান পর্ব ৩), সমস্যা ১৬ (সমাধান পর্ব ৩)।

সমস্যা ১৯ (সমাধান পর্ব ৩)-এ যেকোনো $x, y$-এ নিশ্চিত $n \gt 1$ চাইলে উত্তর $3$; কোনো এক জোড়ায় "হতে পারে" পড়লে প্রতিটি $n$ সম্ভব ($x = y = 2^{n}$), একক উত্তর নেই। MCQ-তে "নিশ্চিতভাবে" লেখা থাকে।

৭. উৎপাদকে ভাঙা: বর্গের অন্তর ও মৌলিকের সমীকরণ

মৌলিক সংখ্যার সমীকরণে সবচেয়ে কাজের সূত্র:

কেন এত কাজের? মৌলিক সংখ্যার (বা মৌলিকের ঘাতের) ভাজক খুব কম। $p$ মৌলিক হলে $p$-কে দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফলে লেখা যায় শুধু $1 \times p$ রূপে; $p^{2}$-কে শুধু $1 \times p^{2}$ বা $p \times p$; $p^{3}$-কে $1 \times p^{3}$ বা $p \times p^{2}$। তাই এক পাশে মৌলিকের ঘাত থাকলে উৎপাদকের জোড়া প্রায় একটাই — সমীকরণ নিজেই সমাধান হয়ে যায়।

উদাহরণ ১০। কোন পূর্ণসংখ্যা $n \gt 3$-এর জন্য $n^{2} - 9$ মৌলিক? $n^{2} - 9 = (n - 3)(n + 3)$। মৌলিক হতে ছোট উৎপাদকটা $1$ হতে হবে: $n - 3 = 1$, অর্থাৎ $n = 4$, আর তখন $n^{2} - 9 = 7$, সত্যিই মৌলিক। একমাত্র উত্তর $n = 4$।

উদাহরণ ১১। $p$, $q$ মৌলিক এবং $p^{2} - 2q^{2} = 1$। সাজিয়ে লেখো: $(p - 1)(p + 1) = 2q^{2}$।

• জোড়-বিজোড়: ডান পাশ জোড়, তাই $p^{2}$ বিজোড়, $p$ বিজোড়।
• $p$ বিজোড় হলে $p - 1$ আর $p + 1$ পরপর দুটি জোড় সংখ্যা, একটি $4$-এর গুণিতক — গুণফল $8$ দিয়ে বিভাজ্য।
• তাই $2q^{2}$ সংখ্যাটি $8$ দিয়ে বিভাজ্য, অর্থাৎ $q^{2}$ জোড়, $q = 2$।
• তখন $p^{2} = 9$, $p = 3$। যাচাই: $9 - 8 = 1$ ✓।

কোনো সংখ্যা পূর্ণবর্গের কাছে হলেও এভাবে ভাঙে: $899 = 30^{2} - 1^{2} = 29 \times 31$।

যেসব সমস্যায় লাগে: সমস্যা ২০ (সমাধান পর্ব ৩), সমস্যা ১৫ (সমাধান পর্ব ৩), সমস্যা ১১ (সমাধান পর্ব ২)।

৮. ছোট মৌলিক দিয়ে ভাগশেষ ছাঁকা

কোনো রাশি মৌলিক হবে কি না দেখতে প্রতিটি মান হিসাব না করে $3$ (বা $5$) দিয়ে ভাগশেষ দেখো। $3$-এর গুণিতক নয় এমন যেকোনো $n$-এর জন্য $n^{2}$-কে $3$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $1$ (কারণ $(3k + 1)^{2}$ ও $(3k + 2)^{2}$ দুটোই $3$-এর গুণিতকের চেয়ে $1$ বেশি)।

উদাহরণ ১২। কোন মৌলিক $p$-এর জন্য $p^{2} + 2$ও মৌলিক? $p \ne 3$ হলে $p^{2} + 2$-কে $3$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $1 + 2 = 3$, অর্থাৎ $0$ — রাশিটি $3$-এর গুণিতক এবং $3$-এর চেয়ে বড়, তাই যৌগিক। একমাত্র সম্ভাবনা $p = 3$: $9 + 2 = 11$, মৌলিক ✓।

ছোট সেট দিলে (যেমন "$n$-এর পরমমান এক অঙ্কের মৌলিক") সব মানের টেবিল বানাও — ধনাত্মক ও ঋণাত্মক দুই দিকই; ভাগশেষ ছাঁকনি শুধু কাজ কমায়।

যেসব সমস্যায় লাগে: সমস্যা ১০ (সমাধান পর্ব ২)।

৯. নতুন সংজ্ঞা? চেনা ভাষায় অনুবাদ করো

অলিম্পিয়াড প্রায়ই নতুন নাম বা অদ্ভুত নিয়ম দেয় ("এই প্রশ্নের জন্য নিখুঁত সংখ্যা", "জুপিটারে $4$-ও মৌলিক")। ঘাবড়ে না গিয়ে প্রথমে জিজ্ঞেস করো: এই সংজ্ঞাটা আসলে কোন পরিচিত জিনিস?

• "উৎপাদকের যোগফল $= n + 1$" → $1$ আর $n$ ছাড়া আর কোনো উৎপাদক নেই → $n$ মৌলিক।
• "উৎপাদকের যোগফল $= n + \sqrt{n} + 1$" বা "ঠিক তিনটি উৎপাদক" → মৌলিকের বর্গ। যেমন $50$ পর্যন্ত এমন সংখ্যা $4, 9, 25, 49$ — ৪টি।
• "কিছু নতুন সংখ্যাকে মৌলিক ধরা হলো" → বাড়তি উৎপাদক মানে সেই সংখ্যাগুলো দিয়ে বিভাজ্যতা — প্রশ্নটা গুণিতক গোনায় নেমে আসে।

গুণিতক গোনা ও অন্তর্ভুক্তি-বর্জন

$1$ থেকে $N$-এ $m$-এর গুণিতক $\lfloor N/m \rfloor$টি। দুটি সংখ্যার সাধারণ গুণিতক মানে তাদের লসাগুর গুণিতক ($4$ ও $6$-এর বেলায় $12$, গুণফল $24$ নয়)।

• অন্তত একটি দিয়ে বিভাজ্য: $|A| + |B| - |A \cap B|$
• ঠিক একটি দিয়ে বিভাজ্য: $|A| + |B| - 2|A \cap B|$

উদাহরণ ১৩। $1$ থেকে $30$-এ ঠিক একটি দিয়ে ($4$ অথবা $6$, দুটো দিয়ে নয়) বিভাজ্য কয়টি? $4$-এর গুণিতক $7$টি, $6$-এর $5$টি, $12$-এর $2$টি। উত্তর $7 + 5 - 2 \times 2 = 8$।

হ্যাঁ/না প্রশ্নে সংখ্যা চেনা ও মৌলিক ঘাত

"$y$ দিয়ে বিভাজ্য?" প্রশ্নে সংখ্যা চিনতে প্রতিটি মৌলিক ঘাত জানতে হয়। $p^{k}$ আর $p^{k-1}$ আলাদা করার একমাত্র প্রশ্ন "$p^{k}$ দিয়ে বিভাজ্য?" — তাই $1$ থেকে $N$ চিনতে ঠিক ততগুলো প্রশ্ন লাগে, $N$ পর্যন্ত যতগুলো মৌলিক ঘাত আছে।

উদাহরণ ১৪। $20$ পর্যন্ত মৌলিক ঘাত: $2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19$ — ১২টি। তাই $1$ থেকে $20$-এর যেকোনো সংখ্যা চিনতে ১২টি প্রশ্ন লাগে, কম নয়।

যেসব সমস্যায় লাগে: সমস্যা ৩ (সমাধান পর্ব ১), সমস্যা ৯ (সমাধান পর্ব ২), সমস্যা ২১ (সমাধান পর্ব ৩)।

সমস্যা ৯ (সমাধান পর্ব ২)-এ মৌলিক ভাজক একবার করে গুনলে উত্তর $6$; পুনরাবৃত্তিসহ গুনলে জুপিটারে উত্তর নির্দিষ্ট হয় না, আর শুধু "উৎপাদক" পড়লে $0$। MCQ-তে "প্রতিটি একবার গোনা হয়" লেখা থাকে।

সমস্যা ২১ (সমাধান পর্ব ৩)-এ সংখ্যাটি $1$ থেকে $N$-এর মধ্যে হলে সবচেয়ে বড় $N = 46$; কোনো সীমা না থাকলে $m$ আর $m \times p$ একই উত্তর দেয়, কোনো সংখ্যাই নিশ্চিত চেনা যায় না। MCQ-তে "$1$ থেকে $N$" লেখা থাকে।

১০. ২০২৭-এর জন্য প্রস্তুতি

আগের বছরগুলোতে এই টপিকে বারবার এসেছে: মৌলিকের যোগফল আর জোড়-বিজোড় (প্রায় প্রতি আঞ্চলিকে), "ঠিক $k$টি ভাজক"-এর ক্ষুদ্রতম সংখ্যা (২০২৩ ও ২০২৬ দুবারই), আর মৌলিক সংখ্যার সমীকরণে বর্গের অন্তর (২০২৪)। প্রশ্নে নিচের সংকেত দেখলে কোন কৌশল ধরবে:

প্রশ্নে যা দেখবে	যে কৌশল ধরবে
কয়েকটি মৌলিকের যোগফল বা অন্তর, বিশেষত বিজোড়	জোড়-বিজোড় → একটি মৌলিক $2$ (অংশ ৩)
"যোগফল জোড়", অথচ বিশাল ঘাত	$a^{b}$ আর $a$-এর জোড়-বিজোড় একই (অংশ ৩)
কয়েকটি মৌলিকের গুণফল দেওয়া	মৌলিক উৎপাদকে ভাঙো, উত্তর একটাই (অংশ ৪)
"ঠিক দুটি / তিনটি উৎপাদক"	মৌলিক / মৌলিকের বর্গ (অংশ ১, ৫)
"কয়টি ভাজক", "ঠিক $k$টি ভাজকের ক্ষুদ্রতম"	$d(n) = (a+1)(b+1)\cdots$, সব ভাঙন তুলনা (অংশ ৫)
পূর্ণবর্গ / পূর্ণঘন / $n$-তম ঘাত	প্রতিটি মৌলিকের ঘাত $k$-এর গুণিতক (অংশ ৬)
"$N$-কে $a^{b}$ আকারে লেখো"	ঘাতগুলোর সাধারণ উৎপাদক = $b$ (অংশ ৪)
মৌলিক + সমীকরণ, $q^{2} - 1$, $p^{2} - q^{2}$	বর্গের অন্তর + "কোনোটা $2$?" (অংশ ৭)
$n!$-এর বৃহত্তম মৌলিক উৎপাদক	$n$-এর সমান বা ছোট বৃহত্তম মৌলিক (অংশ ২)
রাশিটি মৌলিক হবে, $n$ ছোট সেট থেকে	টেবিল + $3$ দিয়ে ভাগশেষ (অংশ ৮)
নতুন নাম, অদ্ভুত নিয়ম	চেনা ধারণায় অনুবাদ (অংশ ৯)
"বিভাজ্য কি?" হ্যাঁ/না প্রশ্ন	মৌলিক ঘাত গোনো (অংশ ৯)

অভ্যাস রাখো: "মৌলিক" শব্দ দেখলেই জিজ্ঞেস করো — "$2$ কি এখানে আছে?" আর "মৌলিক উৎপাদকে ভাঙলে কী দেখায়?"

১১. সাধারণ ফাঁদ

• $1$-কে মৌলিক ধরা। $1$-এর উৎপাদক একটাই; মৌলিক গোনায় $1$ যোগ করলে উত্তর এক বেশি আসে।
• $2$-কে ভুলে যাওয়া। "মৌলিক মানে বিজোড়" ভাবলে জোড়-বিজোড় সমস্যায় একমাত্র উত্তরটাই হারাবে।
• ছদ্মবেশী যৌগিক। $51, 87, 91, 119, 143, 221$ মৌলিক নয়।
• ভাজকের সূত্রে $+1$ বাদ দেওয়া। $2^{2} \times 3$-এর ভাজক $2 \times 1 = 2$টি নয়, $(2+1)(1+1) = 6$টি।
• একটা ভাঙন দেখেই থেমে যাওয়া। "ঠিক $k$টি ভাজকের ক্ষুদ্রতম"-এ সব ভাঙন তুলনা না করলে বড় উত্তর আসে; আর বড় ঘাত ছোট মৌলিকে বসাতে ভুলো না ($2^{1} \times 3^{2}$ নয়, $2^{2} \times 3^{1}$)।
• মধ্যবর্তী মানে থেমে যাওয়া। যোগফল চাইলে সংখ্যা বের করে থেমো না; সালের "সমান সংখ্যক ভাজক" মানে সালের $d(n)$।
• শর্ত ভুলে যাওয়া। "পরমমান" মানে ঋণাত্মক দিকও; "অঙ্ক" ঋণাত্মক হয় না; বয়সের বাস্তব সীমা আছে।

এই টপিকের সমস্যাগুলো (সহজ → কঠিন)

• সমস্যা ১ — সাতটি ক্রমিক মৌলিকের যোগফল ৫৮ · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (যশোর) — সমস্যা ২ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ২ — ১ থেকে ২৫-এ ঠিক দুটি উৎপাদকের সংখ্যা · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (ফরিদপুর, কুষ্টিয়া) — সমস্যা ২ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৩ — উৎপাদকের যোগফল সংখ্যার চেয়ে ১ বেশি · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (দিনাজপুর, কক্সবাজার) — সমস্যা ২ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৪ — তিন ভিন্ন মৌলিকের গুণফল ২৮৬ · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (কুমিল্লা) — সমস্যা ১ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৫ — চারটি সংখ্যার মধ্যে মৌলিক কোনটি · BdMO ২০২৩ নির্বাচনী — সমস্যা ১১ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৬ — দুটি মৌলিকের যোগফল ৭ · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (নারায়ণগঞ্জ) — সমস্যা ১ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৭ — তিন ভাইয়ের মৌলিক বয়সের সর্বোচ্চ গুণফল · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (খুলনা, রাজশাহী) — সমস্যা ২ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৮ — ক্রমিক বিজোড় অঙ্কের সংখ্যার উৎপাদক গোনা · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (ফরিদপুর, কুষ্টিয়া) — সমস্যা ৬ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ৯ — জুপিটারে ৪ ও ৬ মৌলিক হলে বাড়তি উৎপাদক · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (নারায়ণগঞ্জ) — সমস্যা ৪ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১০ — $n^{2}+n+3$ মৌলিক হলে সর্বোচ্চ মান · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (রংপুর, চট্টগ্রাম) — সমস্যা ৩ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১১ — ২০২৩!-এর বৃহত্তম মৌলিক উৎপাদক · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (গাজীপুর) — সমস্যা ৭ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১২ — ২০২২-এর সমান সংখ্যক ভাজকওয়ালা ক্ষুদ্রতম সংখ্যা · BdMO ২০২৩ নির্বাচনী — সমস্যা ১০ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১৩ — একটি বড় সংখ্যার পূর্ণ ঘন উৎপাদক গোনা · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (বগুড়া, ফেনী, রাজশাহী) — সমস্যা ৩ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১৪ — ঘাতের যোগফল জোড় হলে a + b + c-এর সর্বোচ্চ মান · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (ঢাকা) — সমস্যা ৩ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১৫ — $p^{3}+1=q^{2}$ সমীকরণে মৌলিক $p$ ও $q$ · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (কুষ্টিয়া, রংপুর) — সমস্যা ৪ · সমাধান পর্ব ৩
• সমস্যা ১৬ — পালা করে দ্বিগুণ-তিনগুণ ডাল ও পাতার সংখ্যা · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (সিলেট) — সমস্যা ৪ · সমাধান পর্ব ৩
• সমস্যা ১৭ — ঠিক ২০টি ভাজকওয়ালা ক্ষুদ্রতম সংখ্যা · BdMO ২০২৬ আঞ্চলিক (খুলনা ও সিরাজগঞ্জ) — সমস্যা ৩ · সমাধান পর্ব ৩
• সমস্যা ১৮ — ১৫-এর গুণিতক, ১২টি উৎপাদক, মৌলিকের যোগফল ১০ · BdMO ২০২৬ জাতীয় — সমস্যা ৫ · সমাধান পর্ব ৩
• সমস্যা ১৯ — উল্টো ক্রমে যন্ত্রে দিলেও ঘনসংখ্যা · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (ময়মনসিংহ) — সমস্যা ৪ · সমাধান পর্ব ৩
• সমস্যা ২০ — মৌলিক সংখ্যার বর্গের বিয়োগফল বর্গসংখ্যা · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (চট্টগ্রাম, ফরিদপুর) — সমস্যা ৬ · সমাধান পর্ব ৩
• সমস্যা ২১ — বিভাজ্যতার ২১টি প্রশ্নে সংখ্যা চেনা · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (ময়মনসিংহ) — সমস্যা ৫ · সমাধান পর্ব ৩