Loading...
Loading...
সংখ্যা গণিতের মূল ভিত্তি। BCS পরীক্ষায় সংখ্যার প্রকারভেদ ও বিভাজ্যতা থেকে প্রায় প্রতি বছরই ১-২টি প্রশ্ন আসে। এই অধ্যায়ে আমরা সংখ্যার শ্রেণিবিভাগ, মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্য, বিভাজ্যতার নিয়ম এবং পরীক্ষায় কাজে লাগে এমন শর্টকাট শিখব।
| প্রকার | সংজ্ঞা | উদাহরণ |
|---|---|---|
| স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural) | ১ থেকে শুরু: ১, ২, ৩, ... | ১, ৫, ১০০ |
| পূর্ণ সংখ্যা (Whole) | ০ সহ স্বাভাবিক: ০, ১, ২, ... | ০, ৩, ৫০ |
| পূর্ণসংখ্যা (Integer) | ঋণাত্মক + ০ + ধনাত্মক | -৫, ০, ৭ |
| মৌলিক সংখ্যা (Prime) | যার ১ ও নিজ ছাড়া গুণনীয়ক নেই | ২, ৩, ৫, ৭, ১১ |
| যৌগিক সংখ্যা (Composite) | যার ১ ও নিজ ছাড়া আরও গুণনীয়ক আছে | ৪, ৬, ৯, ১৫ |
| মূলদ সংখ্যা (Rational) | p/q আকারে লেখা যায় (q≠০) | ৩/৪, ০.৫, ৭ |
| অমূলদ সংখ্যা (Irrational) | p/q আকারে লেখা যায় না | √২, √৩, π |
যেসব মৌলিক জোড়ার পার্থক্য ২: (৩,৫), (৫,৭), (১১,১৩), (১৭,১৯), (২৯,৩১), (৪১,৪৩), (৫৯,৬১), (৭১,৭৩)
| ভাজক | নিয়ম | উদাহরণ |
|---|---|---|
| ২ | একক স্থানের অঙ্ক জোড় (০,২,৪,৬,৮) | ১২৪ → ৪ জোড় ✓ |
| ৩ | অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য | ১২৩ → ১+২+৩=৬ → ৩ দিয়ে ভাগ যায় ✓ |
| ৪ | শেষ দুই অঙ্ক ৪ দ্বারা বিভাজ্য | ৩১২ → ১২÷৪=৩ ✓ |
| ৫ | শেষ অঙ্ক ০ বা ৫ | ১২৫ → ৫ ✓ |
| ৬ | ২ ও ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য | ১২৬ → জোড় ও ১+২+৬=৯ (৩ দিয়ে যায়) ✓ |
| ৮ | শেষ তিন অঙ্ক ৮ দ্বারা বিভাজ্য | ১,১২০ → ১২০÷৮=১৫ ✓ |
| ৯ | অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য | ৮১০ → ৮+১+০=৯ ✓ |
| ১১ | বিজোড় ও জোড় স্থানের অঙ্কের যোগফলের পার্থক্য ০ বা ১১ এর গুণিতক | ৯১৮৫ → (৯+৮)-(১+৫)=১১ ✓ |
কোনো সংখ্যা N = p^a × q^b × r^c হলে:
উদাহরণ: ৩৬ = 2² × 3² → গুণনীয়ক সংখ্যা = (2+1)(2+1) = ৯টি
| অঙ্ক | চক্র দৈর্ঘ্য | Pattern |
|---|---|---|
| ২ | ৪ | ২, ৪, ৮, ৬, ২, ৪, ৮, ৬... |
| ৩ | ৪ | ৩, ৯, ৭, ১, ৩, ৯, ৭, ১... |
| ৪ | ২ | ৪, ৬, ৪, ৬... |
| ৭ | ৪ | ৭, ৯, ৩, ১, ৭, ৯, ৩, ১... |
| ৮ | ৪ | ৮, ৪, ২, ৬, ৮, ৪, ২, ৬... |
| ৯ | ২ | ৯, ১, ৯, ১... |
কৌশল: ০, ১, ৫, ৬ — এদের যেকোনো ঘাতের একক অঙ্ক সবসময় নিজেই থাকে।
মৌলিক সংখ্যা পরীক্ষা: কোনো সংখ্যা N মৌলিক কিনা দেখতে √N পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে দেখুন। যেমন: ৯৭ মৌলিক? √৯৭ ≈ ৯.৮ → ২, ৩, ৫, ৭ দিয়ে ভাগ হয় না → মৌলিক ✓
একক অঙ্ক বের করা: 7²³ এর একক অঙ্ক? ৭ এর চক্র ৪। ২৩÷৪ = ভাগশেষ ৩। তাই ৭ এর চক্রের ৩য় সংখ্যা = ৩। উত্তর: ৩
n সংখ্যক ধারাবাহিক সংখ্যার গুণফল সর্বদা n! দ্বারা বিভাজ্য
ভাগশেষ শর্টকাট: বড় সংখ্যার ভাগশেষ বের করতে ভাগশেষের গুণন ব্যবহার করুন। (a×b) mod n = [(a mod n) × (b mod n)] mod n
প্রশ্ন: ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কতটি?
সমাধান: ১-৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭
উত্তর: ১৫টি
প্রশ্ন: ৩ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা ৩, ৫ ও ৭ দ্বারা বিভাজ্য — কত?
সমাধান: ৩, ৫, ৭ এর লসাগু = ১০৫ যেহেতু ১০৫ নিজেই ৩ অঙ্কের, তাই:
উত্তর: ১০৫
প্রশ্ন: 2⁵⁰ এর একক অঙ্ক কত?
সমাধান: ২ এর ঘাতের একক অঙ্কের চক্র: ২, ৪, ৮, ৬ (চক্র দৈর্ঘ্য = ৪) ৫০ ÷ ৪ = ১২ ভাগশেষ ২ চক্রের ২য় সংখ্যা = ৪
উত্তর: ৪
প্রশ্ন: ১২০ এর গুণনীয়কের সংখ্যা কত?
সমাধান: ১২০ = 2³ × 3¹ × 5¹ গুণনীয়কের সংখ্যা = (3+1)(1+1)(1+1) = ৪ × ২ × ২ = ১৬
উত্তর: ১৬টি
প্রশ্ন: ৫৮৬৭৩ সংখ্যাটি কি ১১ দ্বারা বিভাজ্য?
সমাধান: বিজোড় স্থানের অঙ্কের যোগ (ডান থেকে ১ম, ৩য়, ৫ম): ৩ + ৬ + ৫ = ১৪ জোড় স্থানের অঙ্কের যোগ (ডান থেকে ২য়, ৪র্থ): ৭ + ৮ = ১৫ পার্থক্য = |১৪ - ১৫| = ১ ১ যেহেতু ০ বা ১১ এর গুণিতক নয়, তাই ১১ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
উত্তর: না, বিভাজ্য নয়।
"১ মৌলিক সংখ্যা" ভাবা: ১ মৌলিক নয়, যৌগিকও নয়। এটি সংখ্যাতত্ত্বে একক (unit)। BCS-এ এটি ট্র্যাপ হিসেবে আসে।
"২ একমাত্র জোড় মৌলিক" ভুলে যাওয়া: প্রশ্ন আসতে পারে "জোড় মৌলিক সংখ্যা কয়টি?" — উত্তর ১টি (শুধু ২)।
বিভাজ্যতায় ৪ ও ৮ এর নিয়ম গুলিয়ে ফেলা: ৪ → শেষ দুই অঙ্ক, ৮ → শেষ তিন অঙ্ক। ভুল করলে ভুল উত্তর।
গুণনীয়ক সংখ্যার সূত্রে ঘাত ভুলে যাওয়া: N = p^a × q^b হলে গুণনীয়ক সংখ্যা (a+1)(b+1), ঘাতের সাথে ১ যোগ করতে ভুলবেন না।
| প্রশ্নের শব্দ/ইঙ্গিত | কী ব্যবহার করবেন |
|---|---|
| "মৌলিক সংখ্যা", "Prime" | √N পর্যন্ত ভাগ করে মৌলিক পরীক্ষা |
| "বিভাজ্য", "নিঃশেষে বিভাজ্য" | বিভাজ্যতার নিয়ম (২,৩,৪,...১১) |
| "একক অঙ্ক", "একক স্থানের মান" | Cyclicity/চক্র পদ্ধতি |
| "গুণনীয়ক কতটি" | মৌলিক উৎপাদক → (a+1)(b+1)... |
| "ভাগশেষ" | ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ |