০৬. অনুপাত ও সমানুপাত — সম্পূর্ণ লেকচার

ধারণা

অনুপাত (Ratio): দুটি একই এককের রাশির তুলনাকে অনুপাত বলে। a ও b এর অনুপাত = a:b = a/b। এখানে a কে পূর্বপদ (antecedent) এবং b কে উত্তরপদ (consequent) বলে।

সমানুপাত (Proportion): দুটি অনুপাত সমান হলে তাদের সমানুপাতী বলে। a:b = c:d হলে, a ও d কে বহিঃপদ এবং b ও c কে মধ্যপদ বলে।

মধ্যসমানুপাতী (Mean Proportional): a:b = b:c হলে b কে a ও c এর মধ্যসমানুপাতী বলে। এখানে b = √(ac)।

তৃতীয় সমানুপাতী: a:b = b:c হলে c কে তৃতীয় সমানুপাতী বলে। c = b²/a।

মূল সূত্র

সূত্র	ব্যাখ্যা
a:b = ma:mb	উভয় পদকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগ করলে অনুপাত অপরিবর্তিত
a:b = c:d → ad = bc	বহিঃপদের গুণফল = মধ্যপদের গুণফল
মধ্যসমানুপাতী b = √(ac)	a:b = b:c থেকে b² = ac
তৃতীয় সমানুপাতী c = b²/a	a:b = b:c থেকে
বণ্টন: a এর অংশ = T × a/(a+b+c)	মোট T কে a:b:c অনুপাতে ভাগ
দ্বিগুণ অনুপাত (Duplicate Ratio)	a:b → a²:b²
উপ-দ্বিগুণ অনুপাত (Sub-duplicate)	a:b → √a:√b
ত্রিগুণ অনুপাত (Triplicate Ratio)	a:b → a³:b³
যৌগিক অনুপাত (Compound Ratio)	a:b ও c:d → ac:bd
বিপরীত অনুপাত (Inverse Ratio)	a:b → b:a

মিশ্রণের অনুপাত (Mixture Ratio):

• দুটি দ্রবণ a:b ও c:d অনুপাতে মিশ্রিত হলে, V₁ ও V₂ পরিমাণে মিশালে:
  • প্রথম উপাদান = V₁×a/(a+b) + V₂×c/(c+d)
  • দ্বিতীয় উপাদান = V₁×b/(a+b) + V₂×d/(c+d)

BCS শর্টকাট

1. বণ্টন শর্টকাট: মোট × নিজের অংশ ÷ অংশের যোগফল — এটাই মূল কথা। a:b:c তে মোট T হলে, প্রথমজনের অংশ = T×a/(a+b+c)
2. অনুপাত একই করা: দুটি অনুপাত তুলনায় সাধারণ পদকে সমান করো। যেমন A:B = 2:3 ও B:C = 4:5 হলে → B কে সমান করতে A:B = 8:12, B:C = 12:15 → A:B:C = 8:12:15
3. মিশ্রণে দ্রুত হিসাব: alligation method ব্যবহার করো — সস্তা ও দামি জিনিসের দামের পার্থক্য cross করে অনুপাত বের করো
4. বিপরীত অনুপাতে বণ্টন: দক্ষতা বেশি হলে অংশ বেশি → 1/a : 1/b = b:a অনুপাতে বণ্টন

সমাধান উদাহরণ

সমস্যা ১: 570 টাকা 3 জনের মধ্যে 2:3:5 অনুপাতে ভাগ করলে সবচেয়ে বেশি কে পাবে?

সমাধান:

• অংশের যোগফল = 2+3+5 = 10
• সবচেয়ে বেশি (5 অংশ) = 570 × 5/10 = 285 টাকা

---

সমস্যা ২: দুধ ও পানির অনুপাত 4:1। 60 লিটার মিশ্রণে কত লিটার পানি মেশালে অনুপাত 2:1 হবে?

সমাধান:

• বর্তমানে: দুধ = 60×4/5 = 48 লি, পানি = 60×1/5 = 12 লি
• ধরি, x লিটার পানি মেশাতে হবে
• নতুন অনুপাত: 48/(12+x) = 2/1
• 48 = 2(12+x) → 48 = 24+2x → x = 12
• 12 লিটার পানি মেশাতে হবে

---

সমস্যা ৩: A:B = 3:4 এবং B:C = 6:7 হলে A:B:C = ?

সমাধান:

• B কে সমান করি: A:B = 3:4 → 9:12 (×3), B:C = 6:7 → 12:14 (×2)
• A:B:C = 9:12:14

---

সমস্যা ৪: 4 ও 9 এর মধ্যসমানুপাতী কত?

সমাধান:

• মধ্যসমানুপাতী = √(4×9) = √36 = 6

---

সমস্যা ৫: A ও B এর আয়ের অনুপাত 5:4 এবং ব্যয়ের অনুপাত 3:2। প্রত্যেকে 1600 টাকা সঞ্চয় করলে A এর আয় কত?

সমাধান:

• A এর আয় = 5x, B এর আয় = 4x
• A এর ব্যয় = 3y, B এর ব্যয় = 2y
• সঞ্চয়: 5x - 3y = 1600 ... (i), 4x - 2y = 1600 ... (ii)
• (ii) থেকে: 2x - y = 800 → y = 2x - 800
• (i) এ বসিয়ে: 5x - 3(2x-800) = 1600 → 5x - 6x + 2400 = 1600 → x = 800
• A এর আয় = 5 × 800 = 4000 টাকা

সতর্ক থাকুন — Common Mistakes

ভুল	সঠিক
অনুপাত উল্টে ফেলা — a:b কে b:a ধরা	প্রশ্নে কার সাথে কার অনুপাত বলা হয়েছে মনোযোগ দাও
বণ্টনে মোট থেকে সরাসরি ভাগ করা	মোট × নিজের অংশ ÷ অংশের যোগফল
দুটি অনুপাত যোগ করতে সাধারণ পদ না মেলানো	B কে LCM করে সমান করো
মিশ্রণে মোট পরিমাণ ভুলে যাওয়া	প্রথমে প্রতিটি উপাদানের পরিমাণ আলাদাভাবে বের করো
দ্বিগুণ অনুপাত ও দ্বিগুণ সংখ্যা গুলিয়ে ফেলা	দ্বিগুণ অনুপাত মানে বর্গ — a²:b²

প্রশ্নে এই শব্দ দেখলে

ট্রিগার শব্দ/বাক্য	কোন পদ্ধতি
"অনুপাত", "সমানুপাত"	সরাসরি অনুপাতের সূত্র
"বণ্টন করলে", "ভাগ করলে"	বণ্টন সূত্র: মোট × অংশ ÷ যোগফল
"মিশ্রিত করলে", "মিশ্রণ"	mixture ratio / alligation
"মধ্যসমানুপাতী"	b = √(ac)
"তৃতীয় সমানুপাতী"	c = b²/a
"আয় ও ব্যয়ের অনুপাত"	দুটি সমীকরণ → সমাধান
"দ্বিগুণ/ত্রিগুণ অনুপাত"	বর্গ/ঘন করো