০৯. কাজ ও সময় — সম্পূর্ণ লেকচার

ধারণা

কাজ ও সময়ের সমস্যায় মূল ধারণা হলো প্রতিদিনের কাজের অংশ (daily work fraction)। কেউ একটি কাজ n দিনে শেষ করলে, সে প্রতিদিন 1/n অংশ কাজ করে। এই ভগ্নাংশ পদ্ধতিতে প্রায় সব সমস্যা সমাধান সম্ভব।

Efficiency Method (দক্ষতা পদ্ধতি): আরেকটি দ্রুত পদ্ধতি হলো মোট কাজকে একটি সংখ্যা (সাধারণত LCM) ধরা। এতে ভগ্নাংশ এড়ানো যায়।

মূল সূত্র

সূত্র	ব্যাখ্যা
1 দিনের কাজ = 1/n	n দিনে সম্পূর্ণ কাজ
একসাথে 1 দিনের কাজ = 1/a + 1/b	A (a দিন) ও B (b দিন) একসাথে
একসাথে সময় = ab/(a+b)	দুজন একসাথে
B একা = an/(a-n)	A+B=n দিন, A একা=a দিন
তিনজন একসাথে = abc/(ab+bc+ca)	A, B, C একসাথে

পাইপ ও চৌবাচ্চা:

পরিস্থিতি	সূত্র
পূরণ করার পাইপ	+1/a (ধনাত্মক)
খালি করার পাইপ	-1/b (ঋণাত্মক)
একসাথে	1/a - 1/b (পূরণ > খালি হলে পূর্ণ হবে)

Efficiency Method:

• মোট কাজ = LCM(a, b)
• A এর দৈনিক কাজ = LCM/a
• B এর দৈনিক কাজ = LCM/b
• একসাথে দৈনিক = দুজনের যোগ
• সময় = মোট কাজ ÷ একসাথে দৈনিক

Man-Day / Worker-Hour:

• মোট কাজ = জনসংখ্যা × দিন × ঘণ্টা (M₁D₁H₁ = M₂D₂H₂)
• একটি কাজ পরিবর্তিত শর্তে: M₁×D₁×H₁/W₁ = M₂×D₂×H₂/W₂

BCS শর্টকাট

1. ab/(a+b) মুখস্থ করো: দুজন একসাথে কাজ করলে সময় = ab/(a+b) — সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত সূত্র
2. LCM পদ্ধতি: ভগ্নাংশ এড়াতে LCM ধরো। যেমন A=10 দিন, B=15 দিন → LCM=30 ধরো। A=3/দিন, B=2/দিন, একসাথে=5/দিন → 30/5=6 দিন।
3. পর্যায়ক্রমে কাজ: A ও B পালাক্রমে কাজ করলে — 2 দিনে যতটুকু হয় সেটা বের করো, তারপর মোটকে ভাগ করো।
4. খালি করার পাইপ = ঋণাত্মক: এটা ভুলো না!

সমাধান উদাহরণ

সমস্যা ১ (মৌলিক — একসাথে কাজ): A একটি কাজ 12 দিনে ও B 18 দিনে করতে পারে। একসাথে কত দিনে করবে?

সমাধান (সূত্র পদ্ধতি):

• একসাথে = 12×18/(12+18) = 216/30 = 7.2 দিন বা 7 দিন 4 ঘণ্টা 48 মি

সমাধান (LCM পদ্ধতি):

• মোট কাজ = LCM(12,18) = 36
• A দৈনিক = 36/12 = 3, B দৈনিক = 36/18 = 2
• একসাথে দৈনিক = 5 → সময় = 36/5 = 7.2 দিন ✓

---

সমস্যা ২ (পাইপ ও চৌবাচ্চা): একটি পাইপ 8 ঘণ্টায় চৌবাচ্চা পূরণ করে এবং আরেকটি পাইপ 12 ঘণ্টায় খালি করে। দুটি একসাথে খুললে কত ঘণ্টায় পূর্ণ হবে?

সমাধান:

• 1 ঘণ্টায় কাজ = 1/8 - 1/12 = (3-2)/24 = 1/24
• পূর্ণ হতে সময় = 24 ঘণ্টা

---

সমস্যা ৩ (পর্যায়ক্রমে কাজ): A প্রতিদিন 1/10 অংশ এবং B প্রতিদিন 1/15 অংশ কাজ করে। তারা পালাক্রমে কাজ করলে (A প্রথম দিন শুরু) কত দিনে শেষ হবে?

সমাধান:

• মোট কাজ = LCM(10,15) = 30
• A দৈনিক = 3, B দৈনিক = 2
• প্রতি 2 দিনে কাজ = 3+2 = 5
• 30/5 = 6 চক্র = 12 দিনে শেষ

---

সমস্যা ৪ (Efficiency): A, B এর দ্বিগুণ দক্ষ। B একা 18 দিনে কাজ শেষ করে। একসাথে কত দিনে?

সমাধান:

• B = 18 দিন → A = 18/2 = 9 দিন (দ্বিগুণ দক্ষ মানে অর্ধেক সময়)
• একসাথে = 9×18/(9+18) = 162/27 = 6 দিন

---

সমস্যা ৫ (Man-Day): 10 জন শ্রমিক একটি কাজ 15 দিনে করে। 5 জন শ্রমিক কত দিনে করবে?

সমাধান:

• মোট কাজ = 10 × 15 = 150 man-days
• 5 জনে সময় = 150/5 = 30 দিন
• (ব্যস্ত সমানুপাত: লোক অর্ধেক → সময় দ্বিগুণ)

সতর্ক থাকুন — Common Mistakes

ভুল	সঠিক
খালি করার পাইপকে ধনাত্মক ধরা	খালি = ঋণাত্মক (-1/n)
A+B একসাথে = a+b দিন মনে করা	একসাথে = ab/(a+b), a+b নয়!
Efficiency দ্বিগুণ মানে সময়ও দ্বিগুণ	দক্ষতা দ্বিগুণ → সময় অর্ধেক
পর্যায়ক্রমে কাজে সরাসরি ভাগ করা	প্রতি চক্রে (2 দিন) কতটুকু হয় সেটা আগে বের করো
Man-day তে সরল সমানুপাত ব্যবহার	লোক বেশি → সময় কম = ব্যস্ত সমানুপাত

প্রশ্নে এই শব্দ দেখলে

ট্রিগার শব্দ/বাক্য	কোন পদ্ধতি
"একসাথে কাজ করলে"	1/a + 1/b বা ab/(a+b)
"পূরণ করতে" / "খালি করতে"	পাইপ — ধনাত্মক/ঋণাত্মক
"পালাক্রমে" / "পর্যায়ক্রমে"	চক্র বের করো
"দ্বিগুণ/তিনগুণ দক্ষ"	সময় = মূল/2 বা মূল/3
"জন শ্রমিক" / "কর্মী"	M₁D₁ = M₂D₂ (man-day)
"কাজের 1/3 অংশ করে চলে গেল"	বাকি কাজ = 2/3, নতুন সমীকরণ