১০. গড়, মিশ্রণ ও ঐকিক নিয়ম — সম্পূর্ণ লেকচার

ধারণা

এই টপিকে তিনটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা রয়েছে:

গড় (Average/Mean): কতগুলো সংখ্যার যোগফলকে সংখ্যার পরিমাণ দিয়ে ভাগ করলে গড় পাওয়া যায়। BCS এ প্রায়ই গড় পরিবর্তন (নতুন সংখ্যা যোগে বা বাদে) টাইপ আসে।

মিশ্রণ (Alligation): দুটি ভিন্ন দামের বা ভিন্ন ঘনত্বের জিনিস মিশ্রিত করলে মিশ্রণের দাম/ঘনত্ব কত হবে বা কোন অনুপাতে মেশাতে হবে — এটা alligation rule দিয়ে সমাধান করা হয়।

ঐকিক নিয়ম (Unitary Method): একটি জিনিসের মান বের করে তারপর প্রয়োজনীয় সংখ্যক জিনিসের মান বের করার পদ্ধতি। সরল সমানুপাত (বেশি→বেশি) ও ব্যস্ত সমানুপাত (বেশি→কম) দুই প্রকার।

মূল সূত্র

গড়ের সূত্র

সূত্র	ব্যাখ্যা
গড় = যোগফল ÷ সংখ্যা	মৌলিক সংজ্ঞা
যোগফল = গড় × সংখ্যা	যোগফল বের করতে
1 থেকে n পর্যন্ত যোগফল = n(n+1)/2	ক্রমিক সংখ্যা
1 থেকে n পর্যন্ত গড় = (n+1)/2	ক্রমিক গড়
ক্রমিক সংখ্যার গড় = (প্রথম+শেষ)/2	সমান্তর ধারা
প্রথম n বিজোড়ের যোগফল = n²	1+3+5+...+(2n-1)
প্রথম n জোড়ের যোগফল = n(n+1)	2+4+6+...+2n

নতুন সংখ্যা যোগে গড় পরিবর্তন:

• n সংখ্যার গড় A। নতুন সংখ্যা x যোগ হলে:
  • নতুন গড় = (nA + x) / (n+1)
  • গড় বাড়লে: x > পুরাতন গড়
  • গড় কমলে: x < পুরাতন গড়

একটি সংখ্যা বাদে গড় পরিবর্তন:

• n সংখ্যার গড় A। একটি সংখ্যা x বাদ দিলে:
  • নতুন গড় = (nA - x) / (n-1)

একটি সংখ্যা প্রতিস্থাপনে গড় পরিবর্তন:

• একটি সংখ্যা x এর বদলে y বসালে গড় d বাড়লে:
  • y - x = n × d (n = মোট সংখ্যা)

ভারিত গড় (Weighted Average)

• দুটি দলের গড় a ও b, সদস্য m ও n →
• মোট গড় = (ma + nb) / (m + n)

মিশ্রণ (Alligation)

Alligation Rule:

• সস্তার দাম = a, দামির দাম = b, মিশ্রণের দাম = m
• সস্তা : দামি = (b - m) : (m - a)

    a           b
     \         /
      \       /
        m
      /       \
     /         \
  (b-m)      (m-a)

ঐকিক নিয়ম

প্রকার	নিয়ম	উদাহরণ
সরল সমানুপাত	বেশি হলে বেশি	5টি কলমের দাম 50 → 10টির দাম 100
ব্যস্ত সমানুপাত	বেশি হলে কম	5 জন 10 দিনে → 10 জন 5 দিনে

BCS শর্টকাট

1. গড় পরিবর্তন শর্টকাট: n সংখ্যার গড়ে 1 যোগে নতুন সংখ্যা = পুরনো গড় + (n+1) × গড় বৃদ্ধি
2. ক্রমিক সংখ্যার গড়: মাঝের সংখ্যাটিই গড় (বিজোড় সংখ্যক হলে)
3. Alligation cross method: দুটি দামের cross difference নিলেই অনুপাত পাওয়া যায়
4. ঐকিক নিয়মে প্রথমে 1 এর মান বের করো — তারপর গুণ করো

সমাধান উদাহরণ

সমস্যা ১ (গড় পরিবর্তন — সংখ্যা যোগ): 5 জন ছাত্রের গড় নম্বর 60। আরেকজন যোগ দিলে গড় 55 হয়। নতুন ছাত্রের নম্বর কত?

সমাধান:

• 5 জনের মোট = 5×60 = 300
• 6 জনের মোট = 6×55 = 330
• নতুন ছাত্রের নম্বর = 330 - 300 = 30

---

সমস্যা ২ (গড় পরিবর্তন — সংখ্যা বাদ): 10 সংখ্যার গড় 15। একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় 16 হয়। বাদ দেওয়া সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

• 10 সংখ্যার মোট = 10×15 = 150
• 9 সংখ্যার মোট = 9×16 = 144
• বাদ দেওয়া সংখ্যা = 150 - 144 = 6

---

সমস্যা ৩ (Alligation — মিশ্রণ): 40 টাকা/কেজি ও 60 টাকা/কেজি দামের চা কোন অনুপাতে মেশালে মিশ্রণের দাম 45 টাকা/কেজি হবে?

সমাধান:

• Alligation: সস্তা : দামি = (60-45) : (45-40) = 15 : 5 = 3 : 1

---

সমস্যা ৪ (ভারিত গড়): একটি ক্লাসে 30 ছাত্রের গড় নম্বর 70 এবং 20 ছাত্রীর গড় নম্বর 80। পুরো ক্লাসের গড় কত?

সমাধান:

• মোট গড় = (30×70 + 20×80) / (30+20) = (2100+1600)/50 = 3700/50 = 74

---

সমস্যা ৫ (ঐকিক নিয়ম — ব্যস্ত): 12 জন শ্রমিক একটি কাজ 20 দিনে করে। 15 জন শ্রমিক কত দিনে করবে?

সমাধান:

• মোট কাজ = 12 × 20 = 240 man-days
• 15 জনে সময় = 240/15 = 16 দিন
• (ব্যস্ত সমানুপাত: লোক বেশি → সময় কম)

সতর্ক থাকুন — Common Mistakes

ভুল	সঠিক
গড় পরিবর্তনে নতুন যোগফল ভুলে যাওয়া	নতুন মোট = নতুন গড় × নতুন সংখ্যা
সংখ্যা যোগে n ব্যবহার, n+1 না করা	নতুন সদস্য যোগে সংখ্যা n+1 হয়
Alligation এ cross difference উল্টে নেওয়া	সস্তা পাশে (দামি-মিশ্রণ), দামি পাশে (মিশ্রণ-সস্তা)
ঐকিক নিয়মে সরল ও ব্যস্ত গুলিয়ে ফেলা	দাম→সরল (বেশি=বেশি), শ্রমিক-সময়→ব্যস্ত (বেশি=কম)
ভারিত গড়ে সংখ্যা গুণতে ভুলে যাওয়া	প্রতি দলের মোট আলাদা করে বের করো

প্রশ্নে এই শব্দ দেখলে

ট্রিগার শব্দ/বাক্য	কোন পদ্ধতি
"গড়" / "গড় নম্বর" / "গড় বয়স"	গড় = যোগফল ÷ সংখ্যা
"নতুন সংখ্যা যোগ দিলে গড়..."	নতুন মোট = নতুন গড় × (n+1)
"একটি বাদ দিলে গড়..."	বাদ = পুরনো মোট - নতুন মোট
"মিশ্রণ" / "মিশ্রিত"	Alligation: (b-m):(m-a)
"জন বেশি হলে" / "জন কম হলে"	ঐকিক — ব্যস্ত সমানুপাত
"দাম বেশি/কম"	ঐকিক — সরল সমানুপাত
"ক্রমিক সংখ্যা"	গড় = মাঝের সংখ্যা