১১. বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও উৎপাদক

বীজগণিতের সূত্রাবলি BCS গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অংশগুলোর একটি। প্রায় প্রতিটি BCS পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ১-২টি প্রশ্ন আসে। সূত্রগুলো মুখস্থ থাকলে এবং প্রয়োগ জানলে ৩০ সেকেন্ডেই উত্তর দেওয়া সম্ভব।

---

ধারণা

বীজগাণিতিক সূত্র হলো চলকের (variable) মধ্যে এমন সম্পর্ক যা সবসময় সত্য। এই সূত্রগুলো ব্যবহার করে আমরা জটিল রাশি সরলীকরণ করতে পারি এবং উৎপাদকে বিশ্লেষণ (factorization) করতে পারি।

উৎপাদক (Factor) মানে হলো একটি বীজগাণিতিক রাশিকে দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ করা।

---

মূল সূত্র

বর্গ সম্পর্কিত সূত্র:

#	সূত্র	বিস্তৃত রূপ
১	(a + b)² = a² + 2ab + b²	যোগফলের বর্গ
২	(a - b)² = a² - 2ab + b²	বিয়োগফলের বর্গ
৩	a² - b² = (a + b)(a - b)	বর্গের অন্তর
৪	(a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)	দুই বর্গের যোগ
৫	(a + b)² - (a - b)² = 4ab	দুই বর্গের বিয়োগ

ঘন সম্পর্কিত সূত্র:

#	সূত্র
৬	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
৭	(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)
৮	a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
৯	a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

বিপরীত (Reciprocal) সূত্র — BCS সুপার শর্টকাট:

শর্ত	ফলাফল
a + 1/a = k	a² + 1/a² = k² - 2
a - 1/a = k	a² + 1/a² = k² + 2
a + 1/a = k	a³ + 1/a³ = k³ - 3k
a - 1/a = k	a³ - 1/a³ = k³ + 3k
a + 1/a = k	a⁴ + 1/a⁴ = (k² - 2)² - 2

কেন এই সূত্রগুলো কাজ করে?

a + 1/a = k হলে, উভয় পক্ষে বর্গ করলে:

(a + 1/a)² = k²

a² + 2·a·(1/a) + 1/a² = k²

a² + 2 + 1/a² = k²

তাই, a² + 1/a² = k² - 2

একইভাবে ঘনের জন্য: (a + 1/a)³ = a³ + 3a(1/a)(a + 1/a) + 1/a³ = a³ + 1/a³ + 3k

তাই, a³ + 1/a³ = k³ - 3k

---

BCS শর্টকাট

১. a + b ও ab জানা থাকলে:

• a² + b² = (a + b)² - 2ab
• a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
• (a - b)² = (a + b)² - 4ab → a - b = √[(a+b)² - 4ab]

২. a - b ও ab জানা থাকলে:

• a² + b² = (a - b)² + 2ab
• (a + b)² = (a - b)² + 4ab → a + b = √[(a-b)² + 4ab]

৩. উৎপাদকে বিশ্লেষণের ৩টি প্রধান পদ্ধতি:

(ক) সূত্র ব্যবহার:

• x² - 25 = x² - 5² = (x + 5)(x - 5)
• 8x³ + 27 = (2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² - 6x + 9)

(খ) মধ্যপদ ভাঙন (MCQ-তে সবচেয়ে বেশি আসে):

• x² + 5x + 6 → দুটি সংখ্যা যাদের যোগ 5, গুণ 6 → (2, 3)
• তাই x² + 2x + 3x + 6 = x(x+2) + 3(x+2) = (x+2)(x+3)

(গ) গ্রুপিং:

• ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)

৪. MCQ-তে দ্রুত উৎপাদক বের করার ট্রিক:

x² + bx + c আকারের জন্য → এমন দুটি সংখ্যা p, q খুঁজুন যেন:

• p + q = b (মধ্যপদের সহগ)
• p × q = c (শেষ পদ)
• তাহলে উত্তর: (x + p)(x + q)

---

সমাধান উদাহরণ

উদাহরণ ১: a + 1/a = 3 হলে, a² + 1/a² = কত?

সমাধান:

সূত্র: a² + 1/a² = (a + 1/a)² - 2 = 3² - 2 = 9 - 2 = 7 (উত্তর)

উদাহরণ ২: a + 1/a = 3 হলে, a³ + 1/a³ = কত?

সমাধান:

সূত্র: a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3(a + 1/a) = 3³ - 3×3 = 27 - 9 = 18 (উত্তর)

উদাহরণ ৩: x² - 7x + 12 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:

দুটি সংখ্যা যাদের যোগ = -7, গুণ = 12 → (-3) ও (-4)

(-3) + (-4) = -7 ✓

(-3) × (-4) = 12 ✓

তাই: x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) (উত্তর)

উদাহরণ ৪: a - b = 3, ab = 10 হলে a² + b² = কত?

সমাধান:

সূত্র: a² + b² = (a - b)² + 2ab = 3² + 2×10 = 9 + 20 = 29 (উত্তর)

উদাহরণ ৫: (a + b) = 7, (a - b) = 3 হলে ab = কত?

সমাধান:

সূত্র: (a + b)² - (a - b)² = 4ab

7² - 3² = 4ab

49 - 9 = 4ab

40 = 4ab

ab = 10 (উত্তর)

---

সতর্ক থাকুন — Common Mistakes

ভুল	সঠিক
(a + b)² = a² + b² ❌	(a + b)² = a² + 2ab + b² ✅
a + 1/a = k → a² + 1/a² = k² ❌	a² + 1/a² = k² - 2 ✅
a - 1/a = k → a² + 1/a² = k² - 2 ❌	a - 1/a হলে a² + 1/a² = k² + 2 ✅
a³ + b³ = (a + b)³ ❌	a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) ✅
a² - b² = (a - b)² ❌	a² - b² = (a + b)(a - b) ✅

সবচেয়ে বড় ভুল: a + 1/a ও a - 1/a এর সূত্র গুলিয়ে ফেলা। মনে রাখুন:

• যোগ থেকে বর্গ → বিয়োগ 2 (k² - 2)
• বিয়োগ থেকে বর্গ → যোগ 2 (k² + 2)

---

প্রশ্নে এই শব্দ দেখলে

প্রশ্নে যা দেখবেন	যে সূত্র/পদ্ধতি ব্যবহার করবেন
"a + 1/a = ..." বা "a + b ও ab দেওয়া"	বিপরীত/identity সূত্র
"যোগফল ও গুণফল দেওয়া আছে"	(a+b)² - 2ab বা (a-b)² + 2ab
"উৎপাদক নির্ণয় করুন" / "Factorize"	মধ্যপদ ভাঙন / সূত্র / গ্রুপিং
"সরলীকরণ করুন"	প্রথমে সূত্র চিনুন, তারপর সরলীকরণ
"x² + bx + c" আকারের রাশি	মধ্যপদ ভাঙন — p+q=b, p×q=c
"a² - b²" বা "বর্গের অন্তর"	(a+b)(a-b) সূত্র
"ঘনের যোগ/বিয়োগ"	a³±b³ সূত্র