১২. সূচক ও লগারিদম

সূচক (Exponent) ও লগারিদম (Logarithm) BCS পরীক্ষায় নিয়মিত আসে। সূচকের নিয়মগুলো সরাসরি এবং লগারিদমের ধর্মগুলো জানা থাকলে এই টপিকের প্রশ্ন খুবই সহজ। BCS-এ সাধারণত সূচকের মান নির্ণয় এবং লগারিদম সরলীকরণ আসে।

---

ধারণা

সূচক (Exponent/Index/Power): aⁿ মানে হলো a কে n বার গুণ করা। এখানে a হলো ভিত্তি (base), n হলো সূচক (exponent)।

যেমন: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

লগারিদম (Logarithm): লগারিদম হলো সূচকের বিপরীত প্রক্রিয়া। যদি aⁿ = M হয়, তাহলে logₐ M = n।

যেমন: 2⁵ = 32, তাই log₂ 32 = 5

সহজ ভাষায়: "2 কে কত ঘাত করলে 32 পাওয়া যায়?" → উত্তর: 5

---

মূল সূত্র

সূচকের নিয়মাবলি:

#	নিয়ম	সূত্র	উদাহরণ
১	গুণন	aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128
২	ভাগ	aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	3⁵ ÷ 3² = 3³ = 27
৩	ঘাতের ঘাত	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	(2³)² = 2⁶ = 64
৪	শূন্য সূচক	a⁰ = 1 (a ≠ 0)	5⁰ = 1, 100⁰ = 1
৫	ঋণাত্মক সূচক	a⁻ⁿ = 1/aⁿ	2⁻³ = 1/2³ = 1/8
৬	ভগ্নাংশ সূচক	a^(1/n) = ⁿ√a	8^(1/3) = ³√8 = 2
৭	গুণের ঘাত	(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ	(2×3)² = 2²×3² = 36
৮	ভাগের ঘাত	(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ	(2/3)² = 4/9

লগারিদমের নিয়মাবলি:

#	নিয়ম	সূত্র
১	গুণনের লগ	log(mn) = log m + log n
২	ভাগের লগ	log(m/n) = log m - log n
৩	ঘাতের লগ	log(mⁿ) = n × log m
৪	ভিত্তি পরিবর্তন	logₐ b = logc b / logc a
৫	বিশেষ মান	logₐ a = 1
৬	বিশেষ মান	logₐ 1 = 0
৭	বিশেষ মান	log₁₀ 10 = 1
৮	বিপরীত	logₐ b × logb a = 1

---

BCS শর্টকাট

১. 2 এর ঘাত মুখস্থ রাখুন (BCS-এ সবচেয়ে বেশি আসে):

ঘাত	মান
2¹	2
2²	4
2³	8
2⁴	16
2⁵	32
2⁶	64
2⁷	128
2⁸	256
2⁹	512
2¹⁰	1024

২. অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ ঘাত:

• 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81, 3⁵ = 243
• 5² = 25, 5³ = 125, 5⁴ = 625
• 4³ = 64, 6³ = 216, 7³ = 343

৩. সূচকের সমস্যায় কৌশল:

• একই ভিত্তিতে আনুন: 4ˣ = 2²ˣ, 8ˣ = 2³ˣ, 16ˣ = 2⁴ˣ, 27ˣ = 3³ˣ
• ভিত্তি সমান হলে সূচক সমান: aˣ = aʸ → x = y
• সূচক সমান হলে ভিত্তি সমান: aⁿ = bⁿ → a = b (n ≠ 0)

৪. লগের শর্টকাট:

• log₁₀ 2 ≈ 0.3010 (BCS-এ মাঝেমধ্যে লাগে)
• log₁₀ 3 ≈ 0.4771
• কোনো সংখ্যার অঙ্কের সংখ্যা = ⌊log₁₀ N⌋ + 1

---

সমাধান উদাহরণ

উদাহরণ ১: 2ˣ = 64 হলে x = কত?

সমাধান:

64 = 2⁶ (কারণ 2×2×2×2×2×2 = 64)

2ˣ = 2⁶

তাই x = 6 (উত্তর)

উদাহরণ ২: 4ˣ = 8ˣ⁻¹ হলে x = কত?

সমাধান:

4 = 2², তাই 4ˣ = 2²ˣ

8 = 2³, তাই 8ˣ⁻¹ = 2³⁽ˣ⁻¹⁾

2²ˣ = 2³ˣ⁻³

ভিত্তি সমান, তাই সূচক সমান:

2x = 3x - 3 → 3 = x → x = 3 (উত্তর)

উদাহরণ ৩: log₂ 32 + log₃ 27 = কত?

সমাধান:

log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5 (কারণ 2⁵ = 32)

log₃ 27 = log₃ 3³ = 3 (কারণ 3³ = 27)

5 + 3 = 8 (উত্তর)

উদাহরণ ৪: log 12 = কত? (log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 দেওয়া আছে)

সমাধান:

log 12 = log (4 × 3) = log 4 + log 3 = log 2² + log 3

= 2 × log 2 + log 3 = 2 × 0.3010 + 0.4771

= 0.6020 + 0.4771 = 1.0791 (উত্তর)

উদাহরণ ৫: (27)^(2/3) ÷ (9)^(1/2) = কত?

সমাধান:

(27)^(2/3) = (3³)^(2/3) = 3^(3×2/3) = 3² = 9

(9)^(1/2) = (3²)^(1/2) = 3^(2×1/2) = 3¹ = 3

9 ÷ 3 = 3 (উত্তর)

---

সতর্ক থাকুন — Common Mistakes

ভুল	সঠিক
log(a + b) = log a + log b ❌	log(a × b) = log a + log b ✅
log(a + b) সরলীকরণ করা যায় ❌	log(a + b) আর সরলীকরণ হয় না ✅
a⁰ = 0 ❌	a⁰ = 1 (a ≠ 0) ✅
0⁰ = 1 ❌	0⁰ = অনির্ণেয় (undefined) ✅
(2³)² = 2⁵ ❌	(2³)² = 2⁶ (ঘাত গুণ হয়, যোগ নয়) ✅
2³ × 3³ = 6⁶ ❌	2³ × 3³ = (2×3)³ = 6³ ✅

সবচেয়ে বড় ভুল: log(a + b) = log a + log b মনে করা। গুণের ক্ষেত্রে log ভাঙে, যোগের ক্ষেত্রে নয়!

---

প্রশ্নে এই শব্দ দেখলে

প্রশ্নে যা দেখবেন	যে পদ্ধতি ব্যবহার করবেন
"2ˣ = 64" বা "সূচক/ঘাত নির্ণয়"	একই ভিত্তিতে আনুন, সূচক মেলান
"log ... = ?"	লগের নিয়ম ব্যবহার করুন
"সরলীকরণ করুন" (সূচক সহ)	ভিত্তি এক করুন, সূচকের নিয়ম লাগান
"4ˣ", "8ˣ", "16ˣ"	সব 2 এর ঘাতে রূপান্তর করুন
"log₂", "log₃"	সংখ্যাকে সেই ভিত্তির ঘাতে লিখুন
"কত অঙ্ক বিশিষ্ট?"	⌊log₁₀ N⌋ + 1