১৩. সমীকরণ — সরল ও দ্বিঘাত

সমীকরণ BCS গণিতের একটি মূল টপিক। সরল সমীকরণ, যুগপৎ সমীকরণ এবং দ্বিঘাত সমীকরণ — এই তিনটি অংশ থেকে নিয়মিত প্রশ্ন আসে। বিশেষ করে দ্বিঘাত সমীকরণের মূল সম্পর্কিত প্রশ্ন (Vieta's formulas) BCS-এ অত্যন্ত জনপ্রিয়।

---

ধারণা

সমীকরণ হলো একটি গাণিতিক বাক্য যেখানে সমান চিহ্ন (=) দ্বারা দুটি রাশি সংযুক্ত এবং একটি অজানা চলক (variable) থাকে।

• সরল সমীকরণ (Linear): চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 1 → ax + b = 0
• দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic): চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2 → ax² + bx + c = 0
• যুগপৎ সমীকরণ (Simultaneous): দুই বা ততোধিক চলকের সমীকরণ যুগপৎভাবে সমাধান

---

মূল সূত্র

সরল সমীকরণ:

• ax + b = 0 → x = -b/a

দুই চলকের যুগপৎ সমীকরণ:

ax + by = c ... (i)

dx + ey = f ... (ii)

পদ্ধতি ১ — প্রতিস্থাপন: একটি থেকে x বা y বের করে অন্যটিতে বসান।

পদ্ধতি ২ — নির্ণায়ক (Elimination): সহগ সমান করে বিয়োগ/যোগ করুন।

পদ্ধতি ৩ — ক্রস গুণ (Cross Multiplication / Cramer's Rule):

x = (ce - bf) / (ae - bd), y = (af - cd) / (ae - bd)

দ্বিঘাত সমীকরণ: ax² + bx + c = 0

শ্রীধরাচার্যের সূত্র:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

মূলদ্বয়ের সম্পর্ক (Vieta's Formulas) — BCS সুপারহিট:

যদি α ও β দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল হয়, তাহলে:

বৈশিষ্ট্য	সূত্র
মূলদ্বয়ের যোগফল	α + β = -b/a
মূলদ্বয়ের গুণফল	α × β = c/a

নির্ণায়ক (Discriminant): D = b² - 4ac

D এর মান	মূলের প্রকৃতি
D > 0	দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল
D = 0	দুটি সমান বাস্তব মূল
D < 0	কোনো বাস্তব মূল নেই (জটিল মূল)

মূল থেকে সমীকরণ গঠন:

মূলদ্বয় α ও β হলে সমীকরণ:

x² - (α + β)x + αβ = 0

অর্থাৎ: x² - (যোগফল)x + (গুণফল) = 0

---

BCS শর্টকাট

১. মূলদ্বয়ের অন্যান্য সম্পর্ক:

• α² + β² = (α + β)² - 2αβ
• α² - β² = (α + β)(α - β)
• (α - β)² = (α + β)² - 4αβ
• 1/α + 1/β = (α + β)/αβ

২. মূলের চিহ্ন নির্ণয়:

• উভয় মূল ধনাত্মক → যোগফল > 0 এবং গুণফল > 0
• উভয় মূল ঋণাত্মক → যোগফল < 0 এবং গুণফল > 0
• একটি ধনাত্মক, একটি ঋণাত্মক → গুণফল < 0

৩. দ্রুত উৎপাদক পদ্ধতি (MCQ-তে):

x² + bx + c = 0 → দুটি সংখ্যা p, q খুঁজুন যেন p + q = b, p × q = c

তাহলে মূল: x = -p এবং x = -q

৪. এক মূল অন্য মূলের বিপরীত (Reciprocal roots):

α = 1/β হলে → αβ = 1 → c/a = 1 → c = a

৫. এক মূল শূন্য:

α = 0 হলে → c = 0 (ধ্রুব পদ শূন্য)

---

সমাধান উদাহরণ

উদাহরণ ১: x² - 5x + 6 = 0 এর মূলদ্বয় নির্ণয় করুন।

সমাধান:

দুটি সংখ্যা যাদের যোগ = 5, গুণ = 6 → (2, 3)

(x - 2)(x - 3) = 0

x = 2 অথবা x = 3

মূলদ্বয়: 2, 3 (উত্তর)

উদাহরণ ২: x² - 7x + 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

সমাধান:

ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে: a = 1, b = -7, c = 12

যোগফল = -b/a = -(-7)/1 = 7

গুণফল = c/a = 12/1 = 12 (উত্তর)

উদাহরণ ৩: মূলদ্বয়ের যোগফল 5 ও গুণফল 6 হলে সমীকরণটি কী?

সমাধান:

সূত্র: x² - (যোগফল)x + গুণফল = 0

x² - 5x + 6 = 0

সমীকরণ: x² - 5x + 6 = 0 (উত্তর)

উদাহরণ ৪: 2x² + 3x - 5 = 0 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় করুন।

সমাধান:

D = b² - 4ac = 3² - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49

D = 49 > 0, এবং √49 = 7 (পূর্ণ বর্গ)

মূলদ্বয় বাস্তব ও ভিন্ন (মূলদ সংখ্যা) (উত্তর)

উদাহরণ ৫: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল 3 এবং মূলদ্বয়ের গুণফল 6। অন্য মূল ও সমীকরণ নির্ণয় করুন।

সমাধান:

ধরি, মূলদ্বয় α = 3, β = ?

αβ = 6 → 3 × β = 6 → β = 2

যোগফল = 3 + 2 = 5

সমীকরণ: x² - 5x + 6 = 0

অন্য মূল: 2, সমীকরণ: x² - 5x + 6 = 0 (উত্তর)

---

সতর্ক থাকুন — Common Mistakes

ভুল	সঠিক
যোগফল = b/a ❌	যোগফল = -b/a (মাইনাস মিস করবেন না!) ✅
D < 0 মানে মূল নেই ❌	D < 0 মানে বাস্তব মূল নেই, জটিল মূল আছে ✅
x² - 5x + 6 = 0 এর মূল -2, -3 ❌	মূল +2, +3 (চিহ্ন সাবধানে!) ✅
গুণফল = -c/a ❌	গুণফল = c/a (মাইনাস নেই) ✅
মূল থেকে সমীকরণ: x² + (যোগফল)x + গুণফল ❌	x² - (যোগফল)x + গুণফল = 0 ✅

সবচেয়ে বড় ভুল: মূলদ্বয়ের যোগফল = -b/a এর মাইনাস চিহ্ন ভুলে যাওয়া। এটি BCS-এ সবচেয়ে বেশি ভুল হয়।

---

প্রশ্নে এই শব্দ দেখলে

প্রশ্নে যা দেখবেন	যে পদ্ধতি ব্যবহার করবেন
"সমীকরণের মূল নির্ণয়"	উৎপাদক বা শ্রীধরাচার্যের সূত্র
"মূলদ্বয়ের যোগফল/গুণফল"	Vieta's: -b/a ও c/a
"সমীকরণ গঠন করুন" (মূল দেওয়া)	x² - (যোগ)x + (গুণ) = 0
"মূলের প্রকৃতি"	D = b²-4ac নির্ণয় করুন
"দুটি সংখ্যার যোগ ... গুণ ..."	দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করুন
"যুগপৎ সমীকরণ"	প্রতিস্থাপন বা elimination
"একটি মূল ... হলে অন্য মূল"	Vieta's ব্যবহার করুন