সমীকরণ BCS গণিতের একটি মূল টপিক। সরল সমীকরণ, যুগপৎ সমীকরণ এবং দ্বিঘাত সমীকরণ — এই তিনটি অংশ থেকে নিয়মিত প্রশ্ন আসে। বিশেষ করে দ্বিঘাত সমীকরণের মূল সম্পর্কিত প্রশ্ন (Vieta's formulas) BCS-এ অত্যন্ত জনপ্রিয়।
সমীকরণ হলো একটি গাণিতিক বাক্য যেখানে সমান চিহ্ন (=) দ্বারা দুটি রাশি সংযুক্ত এবং একটি অজানা চলক (variable) থাকে।
ax + by = c ... (i)
dx + ey = f ... (ii)
পদ্ধতি ১ — প্রতিস্থাপন: একটি থেকে x বা y বের করে অন্যটিতে বসান।
পদ্ধতি ২ — নির্ণায়ক (Elimination): সহগ সমান করে বিয়োগ/যোগ করুন।
পদ্ধতি ৩ — ক্রস গুণ (Cross Multiplication / Cramer's Rule):
x = (ce - bf) / (ae - bd), y = (af - cd) / (ae - bd)
শ্রীধরাচার্যের সূত্র:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
যদি α ও β দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল হয়, তাহলে:
| বৈশিষ্ট্য | সূত্র |
|---|---|
| মূলদ্বয়ের যোগফল | α + β = -b/a |
| মূলদ্বয়ের গুণফল | α × β = c/a |
| D এর মান | মূলের প্রকৃতি |
|---|---|
| D > 0 | দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল |
| D = 0 | দুটি সমান বাস্তব মূল |
| D < 0 | কোনো বাস্তব মূল নেই (জটিল মূল) |
মূলদ্বয় α ও β হলে সমীকরণ:
x² - (α + β)x + αβ = 0
অর্থাৎ: x² - (যোগফল)x + (গুণফল) = 0
x² + bx + c = 0 → দুটি সংখ্যা p, q খুঁজুন যেন p + q = b, p × q = c
তাহলে মূল: x = -p এবং x = -q
α = 1/β হলে → αβ = 1 → c/a = 1 → c = a
α = 0 হলে → c = 0 (ধ্রুব পদ শূন্য)
সমাধান:
দুটি সংখ্যা যাদের যোগ = 5, গুণ = 6 → (2, 3)
(x - 2)(x - 3) = 0
x = 2 অথবা x = 3
মূলদ্বয়: 2, 3 (উত্তর)
সমাধান:
ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে: a = 1, b = -7, c = 12
যোগফল = -b/a = -(-7)/1 = 7
গুণফল = c/a = 12/1 = 12 (উত্তর)
সমাধান:
সূত্র: x² - (যোগফল)x + গুণফল = 0
x² - 5x + 6 = 0
সমীকরণ: x² - 5x + 6 = 0 (উত্তর)
সমাধান:
D = b² - 4ac = 3² - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49
D = 49 > 0, এবং √49 = 7 (পূর্ণ বর্গ)
মূলদ্বয় বাস্তব ও ভিন্ন (মূলদ সংখ্যা) (উত্তর)
সমাধান:
ধরি, মূলদ্বয় α = 3, β = ?
αβ = 6 → 3 × β = 6 → β = 2
যোগফল = 3 + 2 = 5
সমীকরণ: x² - 5x + 6 = 0
অন্য মূল: 2, সমীকরণ: x² - 5x + 6 = 0 (উত্তর)
| ভুল | সঠিক |
|---|---|
| যোগফল = b/a ❌ | যোগফল = -b/a (মাইনাস মিস করবেন না!) ✅ |
| D < 0 মানে মূল নেই ❌ | D < 0 মানে বাস্তব মূল নেই, জটিল মূল আছে ✅ |
| x² - 5x + 6 = 0 এর মূল -2, -3 ❌ | মূল +2, +3 (চিহ্ন সাবধানে!) ✅ |
| গুণফল = -c/a ❌ | গুণফল = c/a (মাইনাস নেই) ✅ |
| মূল থেকে সমীকরণ: x² + (যোগফল)x + গুণফল ❌ | x² - (যোগফল)x + গুণফল = 0 ✅ |
সবচেয়ে বড় ভুল: মূলদ্বয়ের যোগফল = -b/a এর মাইনাস চিহ্ন ভুলে যাওয়া। এটি BCS-এ সবচেয়ে বেশি ভুল হয়।
| প্রশ্নে যা দেখবেন | যে পদ্ধতি ব্যবহার করবেন |
|---|---|
| "সমীকরণের মূল নির্ণয়" | উৎপাদক বা শ্রীধরাচার্যের সূত্র |
| "মূলদ্বয়ের যোগফল/গুণফল" | Vieta's: -b/a ও c/a |
| "সমীকরণ গঠন করুন" (মূল দেওয়া) | x² - (যোগ)x + (গুণ) = 0 |
| "মূলের প্রকৃতি" | D = b²-4ac নির্ণয় করুন |
| "দুটি সংখ্যার যোগ ... গুণ ..." | দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করুন |
| "যুগপৎ সমীকরণ" | প্রতিস্থাপন বা elimination |
| "একটি মূল ... হলে অন্য মূল" | Vieta's ব্যবহার করুন |