১৪. সেট ও ভেনচিত্র

সেট ও ভেনচিত্র BCS পরীক্ষার অন্যতম নিশ্চিত টপিক। প্রায় প্রতিটি BCS প্রিলিমিনারিতে "চা-কফি" বা "তিনটি বিষয়" টাইপের একটি প্রশ্ন থাকে। inclusion-exclusion সূত্র জানলে এই প্রশ্নগুলো ৩০ সেকেন্ডে সমাধান করা যায়।

---

ধারণা

সেট (Set): সুনির্দিষ্ট বস্তু বা সংখ্যার সমাবেশকে সেট বলে। সেটের প্রতিটি বস্তুকে বলে উপাদান (Element)।

প্রকারভেদ:

• ফাঁকা সেট (Empty/Null Set): কোনো উপাদান নেই → {} বা ∅
• একক সেট (Singleton): একটি মাত্র উপাদান → {5}
• সসীম সেট (Finite): উপাদান গণনাযোগ্য → {1, 2, 3}
• অসীম সেট (Infinite): উপাদান অগণনীয় → {1, 2, 3, ...}
• উপসেট (Subset): A ⊆ B মানে A-এর সব উপাদান B-তে আছে
• সার্বিক সেট (Universal Set): U — সকল সেটের মূল সেট
• পাওয়ার সেট (Power Set): একটি সেটের সকল উপসেটের সেট

---

মূল সূত্র

সেটের অপারেশন:

অপারেশন	প্রতীক	অর্থ
সংযোগ (Union)	A ∪ B	A অথবা B বা উভয়ের উপাদান
ছেদ (Intersection)	A ∩ B	A এবং B উভয়ের সাধারণ উপাদান
পার্থক্য (Difference)	A - B	A-তে আছে কিন্তু B-তে নেই
পূরক (Complement)	A' বা Aᶜ	U-তে আছে কিন্তু A-তে নেই = U - A

ভেনচিত্র সূত্র — দুই সেট:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

এখানে:

• n(A ∪ B) = A বা B-তে মোট কতজন
• n(A ∩ B) = উভয়ে কতজন

শুধু A = n(A) - n(A ∩ B)

শুধু B = n(B) - n(A ∩ B)

কোনোটিতেই নেই = মোট - n(A ∪ B)

ভেনচিত্র সূত্র — তিন সেট:

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(A∩C) + n(A∩B∩C)

কোনোটিতেই নেই = মোট - n(A ∪ B ∪ C)

পাওয়ার সেট:

n উপাদান বিশিষ্ট সেটের:

• উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ
• প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ - 1

De Morgan's Laws:

• (A ∪ B)' = A' ∩ B' — সংযোগের পূরক = পূরকের ছেদ
• (A ∩ B)' = A' ∪ B' — ছেদের পূরক = পূরকের সংযোগ

---

BCS শর্টকাট

১. "চা-কফি" টাইপ প্রশ্ন (সবচেয়ে বেশি আসে):

ধাপ:

1. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) থেকে অজানা বের করুন
2. কোনোটিতেই নেই = মোট - n(A ∪ B)

২. তিন সেটের প্রশ্নে:

ধাপ:

1. প্রথমে তিন সেটের সূত্রে মান বসান
2. "শুধুমাত্র একটি" = মোট - (জোড়ায় ছেদ × 2) + (তিনের ছেদ × 2)... (সাবধানে!)
3. ভেনচিত্র এঁকে ভেতর থেকে বাইরে পূরণ করুন (কেন্দ্র → দুই ছেদ → শুধু)

৩. পাওয়ার সেট দ্রুত গণনা:

• 1 উপাদান → 2¹ = 2 উপসেট
• 2 উপাদান → 2² = 4 উপসেট
• 3 উপাদান → 2³ = 8 উপসেট
• 4 উপাদান → 2⁴ = 16 উপসেট
• 5 উপাদান → 2⁵ = 32 উপসেট

৪. গুরুত্বপূর্ণ তথ্য:

• ফাঁকা সেট সকল সেটের উপসেট
• n(A ∩ B) ≤ min(n(A), n(B))
• n(A ∪ B) ≤ n(A) + n(B)
• A ∩ A' = ∅ (ছেদ খালি)
• A ∪ A' = U (সংযোগ = সার্বিক)

---

সমাধান উদাহরণ

উদাহরণ ১: 60 জন ছাত্রের মধ্যে 35 জন চা, 30 জন কফি পান করে এবং 10 জন উভয়ই পান করে। কতজন কোনোটিই পান করে না?

সমাধান:

n(চা ∪ কফি) = n(চা) + n(কফি) - n(চা ∩ কফি)

= 35 + 30 - 10 = 55

কোনোটিই না = 60 - 55 = 5 জন (উত্তর)

উদাহরণ ২: 100 জনের মধ্যে 50 জন বাংলা, 40 জন ইংরেজি, 30 জন গণিত পড়ে। 15 জন বাংলা ও ইংরেজি, 10 জন ইংরেজি ও গণিত, 12 জন বাংলা ও গণিত এবং 5 জন তিনটিই পড়ে। কতজন কোনোটিই পড়ে না?

সমাধান:

n(A ∪ B ∪ C) = 50 + 40 + 30 - 15 - 10 - 12 + 5 = 88

কোনোটিই না = 100 - 88 = 12 জন (উত্তর)

উদাহরণ ৩: A = {1, 2, 3, 4} হলে A এর উপসেটের সংখ্যা কত?

সমাধান:

n(A) = 4

উপসেটের সংখ্যা = 2⁴ = 16 (উত্তর)

উদাহরণ ৪: 50 জনের মধ্যে 30 জন ক্রিকেট, 20 জন ফুটবল খেলে। সবাই কমপক্ষে একটি খেলে। কতজন উভয় খেলে?

সমাধান:

সবাই কমপক্ষে একটি → কোনোটিতেই নেই = 0 → n(A ∪ B) = 50

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

50 = 30 + 20 - n(A ∩ B)

n(A ∩ B) = 50 - 50 = 0 জন

অপেক্ষা! 30 + 20 = 50 = মোট, তাই কেউ উভয় খেলে না। (উত্তর: 0 জন)

কিন্তু যদি মোট 40 হতো: 40 = 30 + 20 - n(A ∩ B) → n(A ∩ B) = 10 জন

উদাহরণ ৫: যদি A ∪ B = A হয়, তাহলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:

A ∪ B = A মানে B-এর সব উপাদান A-তে আছে → B ⊆ A (B, A-এর উপসেট) (উত্তর)

---

সতর্ক থাকুন — Common Mistakes

ভুল	সঠিক
n(A∪B) = n(A) + n(B) ❌	n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) (ছেদ বাদ দিতে ভুলবেন না!) ✅
3 সেটে শুধু যোগ-বিয়োগ ❌	3 সেটে শেষে + n(A∩B∩C) যোগ করতে হবে ✅
উপসেট = 2ⁿ - 1 ❌	মোট উপসেট = 2ⁿ (ফাঁকা সেট সহ), প্রকৃত = 2ⁿ-1 ✅
∅ ∈ A (ফাঁকা সেট A-র উপাদান) ❌	∅ ⊆ A (ফাঁকা সেট A-র উপসেট) ✅
"কমপক্ষে একটি" = n(A) + n(B) ❌	"কমপক্ষে একটি" = n(A ∪ B) ✅

সবচেয়ে বড় ভুল: দুই সেটের সূত্রে n(A∩B) বিয়োগ করতে ভুলে যাওয়া। মনে রাখুন — উভয়ে যারা আছে তারা দুইবার গোনা হয়, তাই একবার বাদ দিতে হয়!

---

প্রশ্নে এই শব্দ দেখলে

প্রশ্নে যা দেখবেন	যে পদ্ধতি ব্যবহার করবেন
"কতজন উভয়" / "কতজন দুটোই"	n(A∩B) = n(A)+n(B)-n(A∪B)
"কতজন কোনোটিই না"	মোট - n(A∪B)
"কমপক্ষে একটি"	n(A∪B) = inclusion-exclusion
"উপসেটের সংখ্যা" / "ক্ষমতা সেট"	2ⁿ
"তিনটি বিষয়ে কতজন" / 3 সেট	3 সেটের inclusion-exclusion সূত্র
"শুধুমাত্র A"	n(A) - n(A∩B) [2 সেটে]
"A ∪ B", "A ∩ B"	সেটের অপারেশন