Loading...
Loading...
সংখ্যা ধারা BCS পরীক্ষায় দুইভাবে আসে: (১) সরাসরি সূত্র ব্যবহার করে n-তম পদ বা যোগফল নির্ণয়, এবং (২) একটি সিরিজের পরবর্তী সংখ্যা বের করা (pattern recognition)। উভয় ধরনের প্রশ্নই নিয়মিত আসে এবং সঠিক কৌশল জানা থাকলে দ্রুত সমাধান সম্ভব।
ধারা (Series/Sequence): নির্দিষ্ট নিয়মে সাজানো সংখ্যার তালিকা।
সমান্তর ধারা (AP — Arithmetic Progression): পরপর দুটি পদের অন্তর (difference) সবসময় সমান। এই অন্তরকে বলে সাধারণ অন্তর (d)।
যেমন: 2, 5, 8, 11, 14, ... → d = 3
গুণোত্তর ধারা (GP — Geometric Progression): পরপর দুটি পদের অনুপাত (ratio) সবসময় সমান। এই অনুপাতকে বলে সাধারণ অনুপাত (r)।
যেমন: 2, 6, 18, 54, ... → r = 3
প্যাটার্ন (Pattern): কিছু ধারা AP বা GP নয়, কিন্তু নির্দিষ্ট নিয়ম মেনে চলে (বর্গ, ঘন, Fibonacci ইত্যাদি)।
| বিষয় | সূত্র |
|---|---|
| n-তম পদ | aₙ = a + (n - 1)d |
| n পদের যোগফল | Sₙ = n/2 × [2a + (n-1)d] |
| যোগফল (অন্য রূপ) | Sₙ = n/2 × (প্রথম পদ + শেষ পদ) |
| সাধারণ অন্তর | d = a₂ - a₁ |
| মধ্যপদ | মধ্যপদ = (a + b)/2 [a ও b দুই প্রান্তের পদ] |
| বিষয় | সূত্র |
|---|---|
| n-তম পদ | aₙ = a × rⁿ⁻¹ |
| n পদের যোগফল (r > 1) | Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1) |
| n পদের যোগফল (r < 1) | Sₙ = a(1 - rⁿ)/(1 - r) |
| অসীম পদের যোগ ( | r |
| সাধারণ অনুপাত | r = a₂/a₁ |
| ধারা | সূত্র |
|---|---|
| 1 + 2 + 3 + ... + n | n(n+1)/2 |
| 1² + 2² + 3² + ... + n² | n(n+1)(2n+1)/6 |
| 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ | [n(n+1)/2]² |
| 2 + 4 + 6 + ... + 2n (জোড়) | n(n+1) |
| 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) (বিজোড়) | n² |
(ক) অন্তর (Difference) দেখুন: যদি পরপর পদের অন্তর সমান → AP
যদি অন্তরগুলো AP গঠন করে → 2nd order difference (বর্গ সম্পর্কিত হতে পারে)
(খ) অনুপাত (Ratio) দেখুন: যদি পরপর পদের অনুপাত সমান → GP
(গ) সাধারণ প্যাটার্ন:
| প্যাটার্ন | উদাহরণ | নিয়ম |
|---|---|---|
| বর্গ সংখ্যা | 1, 4, 9, 16, 25, ... | n² |
| ঘন সংখ্যা | 1, 8, 27, 64, 125, ... | n³ |
| Fibonacci | 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... | প্রতিটি পদ = আগের দুই পদের যোগ |
| মৌলিক সংখ্যা | 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... | মৌলিক |
| ক্রমবর্ধমান অন্তর | 2, 3, 5, 8, 12, 17, ... | অন্তর: 1, 2, 3, 4, 5, ... |
| গুণ ও যোগ | 2, 5, 11, 23, 47, ... | ×2 + 1 |
1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)² — এটি একটি সুন্দর সম্পর্ক!
সমাধান:
a = 5, d = 8 - 5 = 3, n = 20
aₙ = a + (n-1)d = 5 + (20-1)×3 = 5 + 57 = 62 (উত্তর)
সমাধান:
Sₙ = n(n+1)/2 = 50 × 51/2 = 1275 (উত্তর)
সমাধান:
GP: a = 3, r = 6/3 = 2, n = 8
aₙ = a × rⁿ⁻¹ = 3 × 2⁷ = 3 × 128 = 384 (উত্তর)
সমাধান:
অন্তর: 4, 6, 8, 10, ... (AP, d = 2)
পরবর্তী অন্তর = 12
30 + 12 = 42 (উত্তর)
[বিকল্প: এগুলো n(n+1) → 1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6, 6×7 = 42]
সমাধান:
Sₙ = n(n+1)(2n+1)/6 = 10 × 11 × 21/6 = 2310/6 = 385 (উত্তর)
| ভুল | সঠিক |
|---|---|
| AP ও GP গুলিয়ে ফেলা ❌ | অন্তর সমান → AP, অনুপাত সমান → GP ✅ |
| n-তম পদ ও যোগফল গুলিয়ে ফেলা ❌ | aₙ = একটি পদের মান, Sₙ = n পদের মোট যোগ ✅ |
| 1+2+...+n = n²/2 ❌ | 1+2+...+n = n(n+1)/2 ✅ |
| GP তে Sₙ = a×rⁿ ❌ | Sₙ = a(rⁿ-1)/(r-1) ✅ |
| বিজোড় সংখ্যার যোগ = n(n+1) ❌ | প্রথম n বিজোড় সংখ্যার যোগ = n² ✅ |
| Fibonacci: পরের পদ = আগের পদ × 2 ❌ | Fibonacci: পরের পদ = আগের দুই পদের যোগ ✅ |
সবচেয়ে বড় ভুল: AP না GP বুঝতে না পারা। প্রথমেই চেক করুন — পরপর পদের অন্তর দেখুন। সমান হলে AP। অন্তর সমান না হলে অনুপাত দেখুন। সমান হলে GP।
| প্রশ্নে যা দেখবেন | যে পদ্ধতি ব্যবহার করবেন |
|---|---|
| "n-তম পদ নির্ণয়" | AP: a+(n-1)d, GP: arⁿ⁻¹ |
| "যোগফল নির্ণয়" | AP: Sₙ সূত্র, বিশেষ: n(n+1)/2 |
| "পরবর্তী সংখ্যা কত?" | প্যাটার্ন চিনুন → অন্তর/অনুপাত/বর্গ/Fibonacci |
| "1+2+3+...+n" | n(n+1)/2 |
| "1²+2²+...+n²" | n(n+1)(2n+1)/6 |
| "1³+2³+...+n³" | [n(n+1)/2]² |
| "সমান্তর ধারা" / "AP" | d ও a বের করে সূত্র লাগান |
| "গুণোত্তর ধারা" / "GP" | r ও a বের করে সূত্র লাগান |
| "জোড়/বিজোড় সংখ্যার যোগ" | জোড়: n(n+1), বিজোড়: n² |