১৬. রেখা, কোণ ও ত্রিভুজ

---

ধারণা

জ্যামিতির ভিত্তি হলো বিন্দু, রেখা ও কোণ। BCS পরীক্ষায় এই অধ্যায় থেকে প্রতিবছর ১-২টি প্রশ্ন আসে। রেখা ও কোণের সম্পর্ক বুঝলে ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ সবই সহজ হয়ে যায়।

রেখার প্রকারভেদ:

• রেখাংশ (Line Segment): দুটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যবর্তী অংশ — নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে
• রশ্মি (Ray): একদিকে সীমিত, অন্যদিকে অসীম
• সরলরেখা (Line): উভয়দিকে অসীম
• সমান্তরাল রেখা: দুটি রেখা একই সমতলে কিন্তু কখনো মিলিত হয় না
• ছেদক রেখা (Transversal): সমান্তরাল রেখাদ্বয়কে ছেদ করে

কোণের প্রকারভেদ:

কোণ	পরিমাপ	মনে রাখার উপায়
সূক্ষ্মকোণ (Acute)	0° < θ < 90°	"সূক্ষ্ম" = ছোট
সমকোণ (Right)	θ = 90°	L আকৃতি
স্থূলকোণ (Obtuse)	90° < θ < 180°	"স্থূল" = মোটা/বড়
সরলকোণ (Straight)	θ = 180°	সোজা রেখা
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex)	180° < θ < 360°	উল্টো দিকে মাপা
পূর্ণকোণ (Complete)	θ = 360°	পূর্ণ ঘূর্ণন

কোণের জোড়া:

• সম্পূরক কোণ (Complementary): দুই কোণের সমষ্টি = 90° → যেমন 30° ও 60°
• পরিপূরক কোণ (Supplementary): দুই কোণের সমষ্টি = 180° → যেমন 120° ও 60°
• বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite): দুই রেখা ছেদ করলে বিপরীত কোণ সমান

সমান্তরাল রেখা ও ছেদক: দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি ছেদক কাটলে ৮টি কোণ তৈরি হয়:

• অনুরূপ কোণ (Corresponding): সমান — একই দিকে একই অবস্থানে
• একান্তর কোণ (Alternate): সমান — বিপরীত দিকে ছেদকের
• সহকোণ (Co-interior): যোগফল = 180° — একই দিকে ছেদকের ভেতরে

---

মূল সূত্র

ত্রিভুজের মৌলিক সূত্র:

• তিন কোণের সমষ্টি = 180°
• বহিঃকোণ = বিপরীত দুই অন্তঃকোণের যোগফল
• যেকোনো দুই বাহুর যোগ > তৃতীয় বাহু (ত্রিভুজ গঠনের শর্ত)
• যেকোনো দুই বাহুর পার্থক্য < তৃতীয় বাহু

পিথাগোরাসের উপপাদ্য (সমকোণী ত্রিভুজ):

যেখানে c = অতিভুজ (সবচেয়ে বড় বাহু, সমকোণের বিপরীত)

পিথাগোরাস ত্রয়ী (মুখস্থ রাখুন):

ত্রয়ী	যাচাই
(3, 4, 5)	9 + 16 = 25 ✓
(5, 12, 13)	25 + 144 = 169 ✓
(8, 15, 17)	64 + 225 = 289 ✓
(7, 24, 25)	49 + 576 = 625 ✓

এগুলোর গুণিতকও ত্রয়ী: (6, 8, 10), (10, 24, 26) ইত্যাদি

সমবাহু ত্রিভুজ:

• প্রতিটি কোণ = 60°
• উচ্চতা = (√3/2) × বাহু
• ক্ষেত্রফল = (√3/4) × বাহু²

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ:

• দুটি বাহু সমান → ভূমিকোণ দুটি সমান
• শীর্ষকোণ θ হলে ভূমিকোণ = (180° - θ)/2

---

BCS শর্টকাট

1. কোণ মনে রাখা: সম্পূরক = 90° (Complementary → 90), পরিপূরক = 180° (Supplementary → Straight → 180)
2. বাহুর শর্ত যাচাই: সবচেয়ে বড় বাহু < অন্য দুই বাহুর যোগ
3. ত্রিভুজে বড় কোণের বিপরীতে বড় বাহু
4. সমকোণী ত্রিভুজ চেনা: c² = a² + b² হলে সমকোণী; c² > a² + b² হলে স্থূলকোণী; c² < a² + b² হলে সূক্ষ্মকোণী
5. বহিঃকোণ শর্টকাট: বহিঃকোণ সর্বদা তার সন্নিহিত অন্তঃকোণের চেয়ে বড়
6. 30-60-90 ত্রিভুজ: বাহুর অনুপাত = 1 : √3 : 2
7. 45-45-90 ত্রিভুজ: বাহুর অনুপাত = 1 : 1 : √2

---

সমাধান উদাহরণ

উদাহরণ ১: একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ 45° ও 65°। তৃতীয় কোণ কত?

→ তৃতীয় কোণ = 180° - 45° - 65° = 70°

---

উদাহরণ ২: একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু 6 ও 8 সেমি। অতিভুজ কত?

→ c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = √100 = 10 সেমি (3,4,5 ত্রয়ীর ×2)

---

উদাহরণ ৩: একটি কোণের সম্পূরক কোণ তার পরিপূরক কোণের দ্বিগুণ। কোণটি কত?

→ ধরি, কোণ = x → সম্পূরক = 90° - x, পরিপূরক = 180° - x → শর্ত: (90 - x) = 2(180 - x) → 90 - x = 360 - 2x → x = 270... ❌ — প্রশ্ন উল্টো হবে: → পরিপূরক = 2 × সম্পূরক: (180 - x) = 2(90 - x) → 180 - x = 180 - 2x → x = 0° ❌ → আবার: সম্পূরক কোণ, পরিপূরক কোণের ৩ গুণ: → (90 - x) = 3(180 - x) → 90 - x = 540 - 3x → 2x = 450 → x = 225°... ❌

সঠিক প্রশ্ন: একটি কোণের পরিপূরক কোণ তার সম্পূরক কোণের ৩ গুণ। কোণটি কত? → (180 - x) = 3(90 - x) → 180 - x = 270 - 3x → 2x = 90 → x = 45° ✓

---

উদাহরণ ৪: 5, 7, ও 12 দিয়ে কি ত্রিভুজ গঠন সম্ভব?

→ সবচেয়ে বড় বাহু = 12 → অন্য দুই বাহুর যোগ = 5 + 7 = 12 → 12 > 12 নয় (সমান, বড় নয়) → ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয় ✓

---

উদাহরণ ৫: সমান্তরাল দুই রেখাকে একটি ছেদক কাটলে একটি একান্তর কোণ 65°। সহকোণ কত?

→ একান্তর কোণ = 65° → সহকোণ = 180° - 65° = 115° (কারণ সহকোণের যোগ = 180°)

---

সতর্ক থাকুন — Common Mistakes

• ভুল ১: সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ সবচেয়ে বড় বাহু — অতিভুজ দিয়ে c² = a² + b² তে c-তে বসাতে হবে, a বা b-তে নয়
• ভুল ২: সম্পূরক ও পরিপূরক গুলিয়ে ফেলা — Complementary = Corner (90°), Supplementary = Straight (180°)
• ভুল ৩: ত্রিভুজের বাহুর শর্তে "যোগ ≥" নয়, "যোগ > (strictly greater)" হতে হবে
• ভুল ৪: পিথাগোরাস ত্রয়ী মনে রেখে সবসময় শুধু সেগুলো খুঁজে না পেলে হাল ছেড়ে দেওয়া — c² = a² + b² দিয়ে সরাসরি বের করুন
• ভুল ৫: সমবাহু ত্রিভুজে কোণ 60°, 60°, 60° — ভুলে যাওয়া যে তিনটি কোণই সমান

---

প্রশ্নে এই শব্দ দেখলে

শব্দ/বাক্য	কী করবেন
"কোণের সমষ্টি"	ত্রিভুজে 180°, চতুর্ভুজে 360°
"সমকোণী ত্রিভুজ"	Pythagoras: c² = a² + b²
"বহিঃকোণ"	= বিপরীত দুই অন্তঃকোণের যোগ
"সম্পূরক"	দুই কোণের যোগ = 90°
"পরিপূরক"	দুই কোণের যোগ = 180°
"সমান্তরাল রেখা"	একান্তর কোণ সমান, সহকোণ = 180°
"ত্রিভুজ গঠন"	দুই বাহুর যোগ > তৃতীয় বাহু
"সমবাহু"	সব বাহু সমান, সব কোণ 60°
"অতিভুজ"	সমকোণের বিপরীত বাহু, সবচেয়ে বড়