১৮. ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা (২D)

---

ধারণা

পরিসীমা হলো কোনো আকৃতির বাইরের সীমানার মোট দৈর্ঘ্য — বেড়া দিতে কতটুকু তার লাগবে সেটা পরিসীমা। ক্ষেত্রফল হলো আকৃতির ভেতরের জায়গা — মেঝেতে টাইলস বসাতে কত জায়গা লাগবে সেটা ক্ষেত্রফল।

BCS পরীক্ষায় 2D ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা থেকে প্রতিবার প্রশ্ন আসে — বিশেষত পথের সমস্যা (path problems) অত্যন্ত জনপ্রিয়।

---

মূল সূত্র

সব 2D সূত্র একনজরে:

আকৃতি	পরিসীমা	ক্ষেত্রফল
বর্গক্ষেত্র (বাহু a)	4a	a²
আয়তক্ষেত্র (দৈর্ঘ্য l, প্রস্থ w)	2(l + w)	l × w
ত্রিভুজ (ভূমি b, উচ্চতা h)	তিন বাহুর যোগ	½ × b × h
সমবাহু ত্রিভুজ (বাহু a)	3a	(√3/4) × a²
সমকোণী ত্রিভুজ (ভূমি a, লম্ব b)	a + b + √(a²+b²)	½ × a × b
সামান্তরিক (ভূমি b, উচ্চতা h)	2(a + b)	b × h
রম্বস (কর্ণ d₁, d₂)	4a	½ × d₁ × d₂
ট্রাপিজিয়াম (সমান্তরাল বাহু a, b; উচ্চতা h)	a+b+c+d	½ × (a + b) × h
বৃত্ত (ব্যাসার্ধ r)	2πr	πr²
অর্ধবৃত্ত	πr + 2r	πr²/2
বৃত্তকলা (কোণ θ)	2r + (θ/360)×2πr	(θ/360) × πr²

হিরোর সূত্র (তিন বাহু a, b, c জানা থাকলে):

• অর্ধ-পরিসীমা s = (a + b + c) / 2
• ক্ষেত্রফল = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

কর্ণ:

• আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √(l² + w²)
• বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√2
• রম্বসের বাহু = ½√(d₁² + d₂²)

পথের সমস্যা (Path Problems):

আয়তক্ষেত্রের চারদিকে বাইরে d প্রস্থের পথ:

• বাইরের মাপ: (l + 2d) × (w + 2d)
• পথের ক্ষেত্রফল = (l + 2d)(w + 2d) - l × w = 2d(l + w + 2d)

আয়তক্ষেত্রের চারদিকে ভেতরে d প্রস্থের পথ:

• ভেতরের মাপ: (l - 2d) × (w - 2d)
• পথের ক্ষেত্রফল = l × w - (l - 2d)(w - 2d) = 2d(l + w - 2d)

বর্গক্ষেত্রের চারদিকে বাইরে d প্রস্থের পথ:

• পথের ক্ষেত্রফল = (a + 2d)² - a² = 4d(a + d)

বৃত্তাকার পথ:

• বাইরের বৃত্তের ব্যাসার্ধ R = r + d
• পথের ক্ষেত্রফল = π(R² - r²) = πd(2r + d)

---

BCS শর্টকাট

1. পরিসীমা → বেড়া/তার, ক্ষেত্রফল → টাইলস/ঘাস/রঙ
2. বর্গের কর্ণ ও বাহুর সম্পর্ক: কর্ণ = a√2, তাই বাহু = কর্ণ/√2 = কর্ণ × √2/2
3. পথের সমস্যায়: বাইরে হলে + 2d, ভেতরে হলে - 2d
4. বৃত্তাকার মাঠের চারপাশে রাস্তা: π(R² - r²) মনে রাখুন
5. ক্ষেত্রফল একক: বর্গ একক (বর্গ মিটার, বর্গ সেমি), পরিসীমা একক: রৈখিক (মিটার, সেমি)

---

সমাধান উদাহরণ

উদাহরণ ১: একটি আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য 80 মি ও প্রস্থ 60 মি। মাঠের চারদিকে 5 মি প্রশস্ত রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

→ পথ বাইরে: ক্ষেত্রফল = 2d(l + w + 2d) → = 2 × 5 × (80 + 60 + 10) → = 10 × 150 = 1500 বর্গ মি

---

উদাহরণ ২: একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ 21 মি। এর চারদিকে 7 মি চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

→ বাইরের ব্যাসার্ধ R = 21 + 7 = 28 মি → রাস্তার ক্ষেত্রফল = π(R² - r²) = 22/7 × (784 - 441) → = 22/7 × 343 = 22 × 49 = 1078 বর্গ মি

---

উদাহরণ ৩: একটি ত্রিভুজের বাহু 13, 14, ও 15 সেমি। ক্ষেত্রফল কত?

→ s = (13 + 14 + 15)/2 = 42/2 = 21 → ক্ষেত্রফল = √[21 × (21-13) × (21-14) × (21-15)] → = √[21 × 8 × 7 × 6] = √[7056] = 84 বর্গ সেমি

---

উদাহরণ ৪: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ 10√2 সেমি। বাহু ও ক্ষেত্রফল কত?

→ কর্ণ = a√2 → 10√2 = a√2 → a = 10 সেমি → ক্ষেত্রফল = 10² = 100 বর্গ সেমি

---

উদাহরণ ৫: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় 16 সেমি ও 12 সেমি। ক্ষেত্রফল ও বাহু কত?

→ ক্ষেত্রফল = ½ × 16 × 12 = 96 বর্গ সেমি → বাহু = ½√(16² + 12²) = ½√(256 + 144) = ½√400 = ½ × 20 = 10 সেমি

---

সতর্ক থাকুন — Common Mistakes

• ভুল ১: পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল গুলিয়ে ফেলা — পরিসীমা = বেড়া (রৈখিক), ক্ষেত্রফল = জায়গা (বর্গ)
• ভুল ২: পথের সমস্যায় পথ ভেতরে না বাইরে বুঝতে ভুল করা — "চারদিকে" সাধারণত বাইরে
• ভুল ৩: অর্ধবৃত্তের পরিসীমায় সরল রেখার অংশ (2r) ভুলে শুধু πr লেখা
• ভুল ৪: হিরোর সূত্রে s = (a+b+c)/2 — 2 দিয়ে ভাগ ভুলে যাওয়া
• ভুল ৫: ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফলে দুটি সমান্তরাল বাহু যোগ করতে হয়, চারটি বাহু নয়

---

প্রশ্নে এই শব্দ দেখলে

শব্দ/বাক্য	কী করবেন
"ক্ষেত্রফল"	সঠিক area সূত্র ব্যবহার
"পরিসীমা"	সঠিক perimeter সূত্র
"পথের প্রস্থ" / "রাস্তার প্রস্থ"	পথের সমস্যা — ভেতরে/বাইরে চেক
"বেড়া" / "তার"	পরিসীমা নির্ণয়
"টাইলস" / "রঙ করা" / "ঘাস লাগানো"	ক্ষেত্রফল নির্ণয়
"কর্ণ"	আয়তক্ষেত্র: √(l²+w²), বর্গ: a√2
"তিন বাহু দেওয়া"	হিরোর সূত্র ব্যবহার