২০. স্থানাঙ্ক জ্যামিতি ও মানসিক দক্ষতা
ধারণা
এই টপিক দুটি বড় অংশে বিভক্ত:
- স্থানাঙ্ক জ্যামিতি — গ্রাফের মাধ্যমে বিন্দু, রেখা, দূরত্ব নির্ণয়
- মানসিক দক্ষতা (Mental Ability) — ক্যালেন্ডার, ঘড়ি, প্যাটার্ন, দিক নির্ণয়, সম্পর্ক, কোডিং ইত্যাদি
BCS পরীক্ষায় মানসিক দক্ষতা থেকে ৩-৫টি প্রশ্ন আসে — এটি সবচেয়ে scoring অংশ কারণ সূত্র কম, logic বেশি।
পর্ব ১: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি
মূল সূত্র
দুই বিন্দুর দূরত্ব:
A(x₁, y₁) ও B(x₂, y₂) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
মধ্যবিন্দু:
M=(2x1+x2, 2y1+y2)
সরলরেখার ঢাল (Slope):
m=x2−x1y2−y1
সমান্তরাল ও লম্ব রেখা:
- সমান্তরাল → m₁ = m₂ (ঢাল সমান)
- পরস্পর লম্ব → m₁ × m₂ = -1
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (স্থানাঙ্ক):
A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) হলে:
ক্ষেত্রফল=21∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣
সরলরেখার সমীকরণ:
- ঢাল-ছেদাংশ রূপ: y = mx + c
- বিন্দু-ঢাল রূপ: y - y₁ = m(x - x₁)
পর্ব ২: মানসিক দক্ষতা (Mental Ability)
ক্যালেন্ডার সমস্যা
অধিবর্ষ (Leap Year) চেনার নিয়ম:
- 4 দিয়ে বিভাজ্য হলে → সাধারণত অধিবর্ষ
- কিন্তু 100 দিয়ে বিভাজ্য হলে → অধিবর্ষ নয়
- যদি না 400 দিয়েও বিভাজ্য হয় → তাহলে অধিবর্ষ
| বছর |
4 দিয়ে? |
100 দিয়ে? |
400 দিয়ে? |
অধিবর্ষ? |
| 2024 |
হ্যাঁ |
না |
— |
হ্যাঁ |
| 1900 |
হ্যাঁ |
হ্যাঁ |
না |
না |
| 2000 |
হ্যাঁ |
হ্যাঁ |
হ্যাঁ |
হ্যাঁ |
| 2100 |
হ্যাঁ |
হ্যাঁ |
না |
না |
দিন গণনা:
- সাধারণ বছর = 365 দিন = 52 সপ্তাহ + 1 দিন অতিরিক্ত
- অধিবর্ষ = 366 দিন = 52 সপ্তাহ + 2 দিন অতিরিক্ত
- অর্থাৎ সাধারণ বছরে একই তারিখ পরের বছর 1 দিন পরের বারে পড়ে
- অধিবর্ষে 2 দিন পরের বারে
মাসের দিন মনে রাখা:
- 30 দিন: এপ্রিল, জুন, সেপ্টেম্বর, নভেম্বর
- 31 দিন: জানুয়ারি, মার্চ, মে, জুলাই, আগস্ট, অক্টোবর, ডিসেম্বর
- 28/29 দিন: ফেব্রুয়ারি
ঘড়ি সমস্যা
কাঁটার গতি:
- মিনিটের কাঁটা: 6°/মিনিট (60 মিনিটে 360°)
- ঘণ্টার কাঁটা: 0.5°/মিনিট (12 ঘণ্টায় 360°)
দুই কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ:
θ=∣30H−5.5M∣
যেখানে H = ঘণ্টা, M = মিনিট
যদি θ > 180° হয়, তাহলে প্রকৃত কোণ = 360° - θ
মুখস্থ রাখুন:
| সময় |
কোণ |
| 3:00 |
90° |
| 6:00 |
180° |
| 9:00 |
90° (বা 270°) |
| 12:00 |
0° |
| 2:30 |
|
সংখ্যা প্যাটার্ন (Number Pattern)
ধাপে ধাপে সমাধান:
- পরপর সংখ্যার পার্থক্য বের করুন
- পার্থক্য সমান → সমান্তর ধারা (AP)
- পার্থক্যেরও পার্থক্য → দ্বিতীয় স্তরের প্যাটার্ন
- অনুপাত সমান → গুণোত্তর ধারা (GP)
সাধারণ প্যাটার্ন:
| ধারা |
প্যাটার্ন |
পরবর্তী |
| 2, 6, 12, 20, 30, ? |
পার্থক্য: 4, 6, 8, 10 → 12 |
42 |
| 1, 4, 9, 16, 25, ? |
n² সিরিজ |
36 |
| 1, 8, 27, 64, ? |
n³ সিরিজ |
125 |
| 1, 1, 2, 3, 5, 8, ? |
Fibonacci (আগের দুটির যোগ) |
13 |
| 2, 6, 18, 54, ? |
GP (×3) |
162 |
| 3, 5, 9, 17, 33, ? |
পার্থক্য দ্বিগুণ: 2, 4, 8, 16 → 32 |
65 |
Analogy — সম্পর্ক নির্ণয়
"A : B :: C : ?" আকারে প্রশ্ন — A ও B এর মধ্যে যে সম্পর্ক, C ও ? এর মধ্যেও তাই।
সাধারণ সম্পর্ক:
- বর্গ: 4 : 16 :: 5 : 25 (n : n²)
- ঘন: 2 : 8 :: 3 : 27 (n : n³)
- বিপরীত: বড় : ছোট :: লম্বা : খাটো
- অংশ-সমগ্র: পাতা : গাছ :: পাখা : পাখি
- কর্মী-কর্মস্থল: ডাক্তার : হাসপাতাল :: শিক্ষক : স্কুল
- সংখ্যা: 6 : 36 :: 8 : 64 (n : n²)
Odd One Out — বেমানান খোঁজা
একটি দলে যেটি বাকিদের সাথে মেলে না সেটি খুঁজুন:
কৌশল:
- সংখ্যায়: মৌলিক vs যৌগিক, জোড় vs বিজোড়, বর্গ vs অবর্গ
- শব্দে: শ্রেণি/ক্যাটাগরি যাচাই
- উদাহরণ: 2, 5, 11, 14, 17 → 14 (বাকি সব মৌলিক)
- উদাহরণ: কুকুর, বিড়াল, ময়ূর, ভেড়া → ময়ূর (বাকি সব স্তন্যপায়ী)
Coding-Decoding
সাধারণ ধরন:
- A=1, B=2, C=3... Z=26
- +1 কোডিং: CAT → DBU (প্রতিটি অক্ষর +1)
- -1 কোডিং: DOG → CNF
- বিপরীত: A↔Z, B↔Y, C↔X... (A=26, B=25...)
উদাহরণ: যদি ROAD = SPBE হয়, তাহলে SWAN = ?
→ R+1=S, O+1=P, A+1=B, D+1=E
→ S+1=T, W+1=X, A+1=B, N+1=O → TXBO
Direction Sense — দিক নির্ণয়
মূল দিক ও ঘূর্ণন:
উত্তর (N)
|
পশ্চিম (W) ← → পূর্ব (E)
|
দক্ষিণ (S)
- উত্তর থেকে ডানে = পূর্ব
- উত্তর থেকে বামে = পশ্চিম
- পূর্ব থেকে ডানে = দক্ষিণ
- দক্ষিণ থেকে ডানে = পশ্চিম
ঘড়ির কাঁটার দিকে (Clockwise): N → E → S → W → N
ঘড়ির বিপরীতে (Anti-clockwise): N → W → S → E → N
শর্টকাট: সূর্য পূর্বে ওঠে। সকালে মুখ সূর্যের দিকে = পূর্বমুখী, ছায়া পশ্চিমে।
Blood Relation — রক্তসম্পর্ক
মূল সম্পর্ক চেইন:
- পিতার পিতা = পিতামহ (দাদা)
- মাতার পিতা = মাতামহ (নানা)
- পিতার ভাই = কাকা/জ্যাঠা
- মাতার ভাই = মামা
- পিতার বোন = ফুপু
- মাতার বোন = খালা
সমাধান কৌশল: প্রশ্ন পড়ে ধাপে ধাপে সম্পর্ক তৈরি করুন, তীর চিহ্ন দিয়ে আঁকুন।
Ranking & Order
সূত্র:
- মোট সংখ্যা = (বাম থেকে অবস্থান) + (ডান থেকে অবস্থান) - 1
- উদাহরণ: বামে 8ম, ডানে 13তম → মোট = 8 + 13 - 1 = 20 জন
দুজনের অবস্থান বদল:
- A বামে 5ম, বদলের পর 8ম → A ও B-র মধ্যে |8-5| - 1 = 2 জন
Dice & Cube
স্ট্যান্ডার্ড ডাইস:
- বিপরীত পৃষ্ঠের সংখ্যার যোগ = 7
- 1 ↔ 6, 2 ↔ 5, 3 ↔ 4
ঘনক কাটার সমস্যা:
- একটি ঘনক n×n×n ভাগে কাটলে:
- মোট টুকরা = n³
- ৩ তল রঙিন (কোণায়) = 8
- ২ তল রঙিন (ধারে) = 12(n-2)
- ১ তল রঙিন (মুখে) = 6(n-2)²
- রঙহীন (ভেতরে) = (n-2)³
BCS শর্টকাট
- ঘড়িতে কোণ: সর্বদা |30H - 5.5M| মনে রাখুন
- অধিবর্ষ: 4 → 100 → 400 তিন ধাপে চেক করুন
- প্যাটার্নে আটকে গেলে: পার্থক্য → পার্থক্যের পার্থক্য → অনুপাত চেক করুন
- দিক সমস্যায়: চিত্র আঁকুন — মনে মনে ভাবলে ভুল হয়
- ডাইসে 7: বিপরীত পৃষ্ঠ = 7 - দেওয়া সংখ্যা
সমাধান উদাহরণ
উদাহরণ ১ (ঘড়ি): 4:20 টায় ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে কোণ কত?
→ θ = |30H - 5.5M| = |30×4 - 5.5×20| = |120 - 110| = 10°
উদাহরণ ২ (ক্যালেন্ডার): 2023 সালের 1 জানুয়ারি রবিবার হলে 2024 সালের 1 জানুয়ারি কী বার?
→ 2023 সাধারণ বছর → 365 দিন = 52 সপ্তাহ + 1 দিন
→ রবিবার + 1 = সোমবার
→ কিন্তু 2024 অধিবর্ষ, তাই 2025 এর 1 জানুয়ারি = সোমবার + 2 = বুধবার
উদাহরণ ৩ (প্যাটার্ন): 3, 5, 9, 17, 33, ?
→ পার্থক্য: 2, 4, 8, 16 → পরবর্তী পার্থক্য = 32
→ উত্তর = 33 + 32 = 65
উদাহরণ ৪ (Analogy): চোখ : দেখা :: কান : ?
→ চোখের কাজ দেখা, কানের কাজ = শোনা
উদাহরণ ৫ (দিক নির্ণয়): রহিম উত্তরমুখী হয়ে হাঁটা শুরু করে। 50 মি পর ডানে ঘোরে, 30 মি যায়, তারপর বামে ঘোরে। এখন সে কোন দিকে মুখ করে আছে?
→ শুরু: উত্তর → ডানে = পূর্ব → বামে = উত্তর
→ রহিম এখন উত্তরমুখী
সতর্ক থাকুন — Common Mistakes
- ভুল ১: অধিবর্ষে 100-এ চেক করেই থেমে যাওয়া — 400 দিয়েও চেক করুন! (1900 ≠ অধিবর্ষ, কিন্তু 2000 = অধিবর্ষ)
- ভুল ২: ঘড়ির সূত্রে H ও M গুলিয়ে ফেলা — H = ঘণ্টা (বড় সংখ্যা ×30), M = মিনিট (×5.5)
- ভুল ৩: দিক সমস্যায় "ডান" ও "বাম" ভুল দিকে ধরা — চিত্র আঁকুন!
- ভুল ৪: প্যাটার্নে শুধু প্রথম পার্থক্য দেখে সিদ্ধান্ত নেওয়া — দ্বিতীয় স্তরও চেক করুন
- ভুল ৫: ঢাল বের করতে (x₂-x₁) ভুলে (y₂-y₁) দিয়ে ভাগ করা — ঢাল = Δy/Δx (y এর পরিবর্তন ÷ x এর পরিবর্তন)
প্রশ্নে এই শব্দ দেখলে
| শব্দ/বাক্য |
কী করবেন |
| "কোণ" / "ঘড়ি" |
|30H - 5.5M| |
| "অধিবর্ষ" |
4 → 100 → 400 চেক |
| "কী বার" / "বার নির্ণয়" |
অতিরিক্ত দিন গোনা |
| "পরবর্তী সংখ্যা" |
পার্থক্য → অনুপাত → প্যাটার্ন |
| "সম্পর্ক" / "Analogy" |
A:B এর সম্পর্ক C:? এ প্রয়োগ |
| "বেমানান" / "Odd" |
শ্রেণি যাচাই — কোনটি আলাদা |
| "কোড" / "Coding" |
+1/-1/বিপরীত নিয়ম খুঁজুন |
| "দিক" / "Direction" |
চিত্র আঁকুন! |
| "ঢাল" / "Slope" |
m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) |
| "সমান্তরাল" |
ঢাল সমান m₁ = m₂ |
| "লম্ব" |
m₁ × m₂ = -1 |
| "ডাইস" / "পাশা" |
বিপরীত পৃষ্ঠ যোগ = 7 |