৫০তম BCS — তথ্য বিশ্লেষণ ও গাণিতিক শর্টকাট (২টি প্রশ্ন)

এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ২টি প্রশ্ন — Isoperimetric ও Clock-meeting।

---

প্রশ্ন ৮৩: একই পরিসীমার আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্র — কার ক্ষেত্রফল বেশি?

বিকল্প: (ক) আয়ত | (খ) বর্গ ✓ | (গ) সমান | (ঘ) নির্ণয় অসম্ভব

এক লাইনে — Isoperimetric Inequality

একই পরিসীমার মধ্যে বর্গক্ষেত্র সর্বাধিক ক্ষেত্রফল ধারণ করে (গণিতের একটি universal theorem)।

সংখ্যামূলক যাচাই

পরিসীমা = ২০ ধরা যাক।

বর্গক্ষেত্র:

• বাহু = ২০/৪ = ৫
• ক্ষেত্রফল = ৫² = ২৫

আয়তক্ষেত্রের বিভিন্ন পরিমাপ (একই পরিসীমা ২০):

দৈর্ঘ্য (l)	প্রস্থ (w)	পরিসীমা	ক্ষেত্রফল
১	৯	২০	৯
২	৮	২০	১৬
৩	৭	২০	২১
৪	৬	২০	২৪
৫	৫	২০	২৫ (max)
৬	৪	২০	২৪
৭	৩	২০	২১

বাহু সমান হলেই (অর্থাৎ বর্গ) ক্ষেত্রফল সর্বাধিক।

AM-GM Inequality (গাণিতিক প্রমাণ)

AM ≥ GM সূত্র:

(l + w)/২ ≥ √(l × w)

বর্গক্ষেত্র (l = w) হলে সমান।

এই সূত্র থেকে প্রমাণিত হয় যে একই পরিসীমার (l + w স্থির) মধ্যে l × w সর্বাধিক যখন l = w।

সাধারণ Isoperimetric Theorem

একই পরিসীমার মধ্যে বৃত্তের ক্ষেত্রফল সবচেয়ে বেশি, তারপর regular polygons (বর্গ, regular pentagon, hexagon, ...), তারপর অনিয়মিত আকৃতি।

পরিসীমা ২০ → ক্ষেত্রফল:

• বৃত্ত: ২০/২π × ব্যাসার্ধ²/π ≈ ৩১.৮৩
• বর্গ: ২৫
• সমবাহু ত্রিভুজ: ১৯.২৫

---

প্রশ্ন ৯০: ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটা একদিনে কতবার মিলিত হয়?

বিকল্প: (ক) ১২ • (খ) ১৮ • (গ) ২২ ✓ • (ঘ) ২৪

এক লাইনে

১২ ঘণ্টায় ১১ বার মিলিত হয়; একদিন (২৪ ঘণ্টা) = ২ × ১১ = ২২ বার।

কেন ১২ বার নয়, ১১ বার?

যুক্তি:

• প্রতি ঘণ্টায় কাঁটা দুটি একবার মিলিত হয়
• কিন্তু ১১টা থেকে ১২টার মাঝে একটিবারই মিলিত হয় — ঠিক ১২টায়
• সুতরাং ১২ ঘণ্টায় ১১ বার (১২ নয়)

Detailed Calculation

মিলিত হওয়ার সময়:

• ১২:০০:০০
• ১:০৫:২৭
• ২:১০:৫৪
• ৩:১৬:২২
• ৪:২১:৪৯
• ৫:২৭:১৬
• ৬:৩২:৪৩
• ৭:৩৮:১১
• ৮:৪৩:৩৮
• ৯:৪৯:০৫
• ১০:৫৪:৩২
• (পরবর্তী মিলন: ১২:০০:০০ আবার, পরের চক্রের শুরু)

মোট: ১১ বার ১২ ঘণ্টায়।

ঘড়ির অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

সমস্যা	উত্তর
১২ ঘণ্টায় কাঁটা মিলিত	১১ বার
২৪ ঘণ্টায় কাঁটা মিলিত	২২ বার
১২ ঘণ্টায় কাঁটা সমকোণ (৯০°)	২২ বার
২৪ ঘণ্টায় কাঁটা সমকোণ	৪৪ বার
১২ ঘণ্টায় কাঁটা সরল-রেখা (১৮০°)	১১ বার
২৪ ঘণ্টায় কাঁটা সরল-রেখা	২২ বার

কাঁটার গতি — দ্রুত ফর্মুলা

মিনিটের কাঁটা:

• ৬০ মিনিটে ৩৬০° → ১ মিনিটে ৬°

ঘণ্টার কাঁটা:

• ১২ ঘণ্টা = ৭২০ মিনিট, ৩৬০° → ১ মিনিটে ০.৫°

আপেক্ষিক বেগ:

• ৬ – ০.৫ = ৫.৫° প্রতি মিনিট
• ৩৬০° পার করতে লাগে: ৩৬০/৫.৫ ≈ ৬৫.৪৫ মিনিট = ১ ঘণ্টা ৫.৪৫ মিনিট

এই কারণেই প্রতি ১ ঘণ্টা ৫.৪৫ মিনিট পরে কাঁটারা মিলিত হয় — ১২ ঘণ্টায় ১১ বার।

কাঁটার কোণ নির্ণয়ের সূত্র

দুই কাঁটার মধ্যে কোণ = |৩০H – ৫.৫M|

H = ঘণ্টা, M = মিনিট

উদাহরণ: ৩:১৫-তে কোণ?

• = |৩০ × ৩ – ৫.৫ × ১৫|
• = |৯০ – ৮২.৫|
• = ৭.৫°

তথ্য বিশ্লেষণের সাধারণ কৌশল

Visualization Tools:

• Bar chart, Pie chart, Line graph
• Tabular data
• Set diagrams (Venn)
• Number line

Quick Calculation Tricks:

Trick	উদাহরণ
৫% খোঁজা	১০% নাও, অর্ধেক করো
১৫% খোঁজা	১০% + ৫%
২৫% খোঁজা	১/৪
৩৩.৩৩%	১/৩
৫০%	অর্ধেক
৬৬.৬৬%	২/৩
৭৫%	৩/৪

Mental Math Tricks

দ্রুত গুণ:

• ১১ × n = n-এর অঙ্কগুলোর মাঝে অঙ্কযোগ
  • উদাহরণ: ১১ × ২৩ = ২ (২+৩) ৩ = ২৫৩
• ৯ × n = n × ১০ – n
  • উদাহরণ: ৯ × ৭ = ৭০ – ৭ = ৬৩
• ২৫ × n = (n × ১০০) ÷ ৪
  • উদাহরণ: ২৫ × ৩২ = ৩২০০/৪ = ৮০০

বর্গ:

• (৫০ + n)² = ২৫০০ + ১০০n + n²
  • উদাহরণ: ৫২² = ২৫০০ + ২০০ + ৪ = ২৭০৪
• (n৫)² = n × (n+১), শেষে ২৫ যোগ
  • উদাহরণ: ২৫² = ২×৩ = ৬, → ৬২৫
• ৩৫² = ৩×৪ → ১২২৫

পরীক্ষার শর্টকাট

• Same perimeter → বর্গ সর্বাধিক area (Isoperimetric)
• ২৪ ঘণ্টায় কাঁটা মিলিত: ২২ বার (১২ ঘণ্টায় ১১ × ২)
• কাঁটার কোণ: |৩০H – ৫.৫M|
• দ্রুত শতাংশ: ১০%-এর গুণিতক হিসেবে ভাঙুন

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

তথ্য বিশ্লেষণ ও গাণিতিক শর্টকাট — মূল লেকচার শিট — Data Interpretation (DI) সব টাইপ — bar, pie, line, table; isoperimetric inequality ও geometric optimization; ঘড়ির বিস্তারিত সমস্যা (মিলন, কোণ, সঠিক/ভুল সময়); mental math tricks (গুণ, বর্গ, ঘন, শতাংশ); approximation ও estimation; এবং BCS-frequent শর্টকাট compendium।