Loading...
Loading...
লসাগু (LCM) ও গসাগু (GCD/HCF) হলো সংখ্যাতত্ত্বের দুটি মৌলিক ধারণা। BCS পরীক্ষায় সরাসরি লসাগু-গসাগু এবং এর ফলিত সমস্যা (Applied Problems) — দুই ধরনের প্রশ্নই আসে। এই অধ্যায়ে ক্যালকুলেশন পদ্ধতি ও পরীক্ষার সব ধরনের প্রশ্নের প্যাটার্ন শিখব।
গসাগু (GCD/HCF): দুই বা ততোধিক সংখ্যার সর্ববৃহৎ সাধারণ গুণনীয়ক। অর্থাৎ, যে বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে সবগুলো সংখ্যাকে নিঃশেষে ভাগ করা যায়।
লসাগু (LCM): দুই বা ততোধিক সংখ্যার ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতক। অর্থাৎ, যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে সবগুলো সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায়।
পদ্ধতি ১: মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ
উদাহরণ: ১২ = 2² × 3, ১৮ = 2 × 3²
পদ্ধতি ২: ভাগ পদ্ধতি (গসাগু) বড় সংখ্যাকে ছোট দিয়ে ভাগ → ভাগশেষ দিয়ে আগের ভাজক ভাগ → ভাগশেষ ০ হলে শেষ ভাজক = গসাগু
দুটি সংখ্যার ক্ষেত্রে:
গসাগু × লসাগু = সংখ্যা দুটির গুণফল
অর্থাৎ, GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b
⚠️ সতর্কতা: এই সূত্র শুধু দুটি সংখ্যার জন্য প্রযোজ্য, তিন বা ততোধিক সংখ্যার জন্য নয়!
| বিষয় | সূত্র |
|---|---|
| ভগ্নাংশের গসাগু | লবগুলোর গসাগু / হরগুলোর লসাগু |
| ভগ্নাংশের লসাগু | লবগুলোর লসাগু / হরগুলোর গসাগু |
উদাহরণ: ২/৩ ও ৪/৯ এর গসাগু = GCD(২,৪)/LCM(৩,৯) = ২/৯ উদাহরণ: ২/৩ ও ৪/৯ এর লসাগু = LCM(২,৪)/GCD(৩,৯) = ৪/৩
Type ১: ভাগ করলে একই ভাগশেষ r থাকে: সংখ্যা = লসাগু(ভাজকগুলোর) × k + r সর্বনিম্ন সংখ্যা = লসাগু + r
Type ২: ভাগ করলে প্রতিবার ঘাটতি d থাকে (অর্থাৎ ভাগশেষ = ভাজক - d): সংখ্যা = লসাগু(ভাজকগুলোর) × k - d সর্বনিম্ন সংখ্যা = লসাগু - d
Type ৩: বিভিন্ন ভাগশেষ কিন্তু ঘাটতি সমান: ভাজক - ভাগশেষ = ধ্রুবক (d) হলে → সংখ্যা = লসাগু × k - d
প্রশ্ন: সর্বনিম্ন সংখ্যা কত যাকে ১২, ১৫ ও ২০ দ্বারা ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না?
সমাধান: সর্বনিম্ন সংখ্যা = LCM(১২, ১৫, ২০) ১২ = 2² × 3 ১৫ = 3 × 5 ২০ = 2² × 5 LCM = 2² × 3 × 5 = ৬০
উত্তর: ৬০
প্রশ্ন: বৃহত্তম সংখ্যা কত যা দিয়ে ২৫, ৪৫ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ৫ ও ৫ ভাগশেষ থাকে?
সমাধান: প্রকৃত বিভাজ্য সংখ্যা: ২৫-১=২৪, ৪৫-৫=৪০, ৬৫-৫=৬০ বৃহত্তম ভাজক = GCD(২৪, ৪০, ৬০) ২৪ = 2³ × 3 ৪০ = 2³ × 5 ৬০ = 2² × 3 × 5 GCD = 2² = ৪ ... কিন্তু ভাগশেষ ৫ > ৪ — পুনরায় যাচাই: GCD(২৪, ৪০) = ৮, GCD(৮, ৬০) = ৪ ভাগশেষ ৫ কিন্তু ভাজক ৪ হতে পারে না। তাই পার্থক্য দেখি: ৪৫-২৫=২০, ৬৫-৪৫=২০, ৬৫-২৫=৪০ GCD(২০, ২০, ৪০) = ২০ যাচাই: ২৫÷২০ = ভাগশেষ ৫ ✓, ৪৫÷২০ = ভাগশেষ ৫ ✓, ৬৫÷২০ = ভাগশেষ ৫ ✓
উত্তর: ২০
প্রশ্ন: একটি সংখ্যাকে ৫, ৬ ও ৮ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবার ২ ভাগশেষ থাকে। সংখ্যাটির সর্বনিম্ন মান কত?
সমাধান: ধাপ ১: LCM(৫, ৬, ৮) = ১২০ ধাপ ২: সংখ্যা = ১২০k + ২ সর্বনিম্ন মান (k=1) = ১২০ + ২ = ১২২
উত্তর: ১২২
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ১৪৪ এবং গসাগু ৪। লসাগু কত?
সমাধান: সূত্র: গসাগু × লসাগু = গুণফল ৪ × লসাগু = ১৪৪ লসাগু = ১৪৪ ÷ ৪ = ৩৬
উত্তর: ৩৬
প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ মিনিট পরপর বাজে। একসাথে বাজার পর কতক্ষণ পরে আবার একসাথে বাজবে?
সমাধান: LCM(৩, ৪, ৫) = ৬০ মিনিট = ১ ঘণ্টা
উত্তর: ৬০ মিনিট বা ১ ঘণ্টা পরে
LCM ও GCD গুলিয়ে ফেলা: "সর্বনিম্ন" = LCM, "বৃহত্তম ভাজক" = GCD। অনেকে উল্টো করে ফেলে। মনে রাখুন: LCM সবসময় বড় বা সমান, GCD সবসময় ছোট বা সমান।
ভগ্নাংশের সূত্র উল্টো করা: গসাগু = লবের গসাগু/হরের লসাগু (লসাগু নিচে!), লসাগু = লবের লসাগু/হরের গসাগু (গসাগু নিচে!)। মনে রাখুন: "গসাগুতে লসাগু নিচে, লসাগুতে গসাগু নিচে" — উল্টো!
গসাগু × লসাগু সূত্র তিন সংখ্যায় ব্যবহার: এটি শুধু দুটি সংখ্যার জন্য। তিন সংখ্যার জন্য এই সূত্র সরাসরি প্রযোজ্য নয়।
ভাগশেষ সমস্যায় ভাগশেষ যোগ করতে ভুলে যাওয়া: LCM বের করেই উত্তর লিখে দেওয়া — ভাগশেষ (r) যোগ করতে ভুলবেন না!
| প্রশ্নের শব্দ/ইঙ্গিত | কী ব্যবহার করবেন |
|---|---|
| "সর্বনিম্ন সংখ্যা যা X, Y, Z দিয়ে বিভাজ্য" | LCM(X, Y, Z) |
| "বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে" | GCD বের করুন |
| "একসাথে বাজবে", "একসাথে দেখা হবে" | সময়ের LCM |
| "সমান টুকরো", "বৃহত্তম দৈর্ঘ্যের টুকরো" | দৈর্ঘ্যের GCD |
| "ভাগ করলে ... ভাগশেষ থাকে" | LCM + r অথবা LCM - d |
| "গুণফল ও গসাগু দেওয়া, লসাগু বের করো" | লসাগু = গুণফল ÷ গসাগু |