সংখ্যা ধারা — ফর্মুলা শীট

সমান্তর ধারা (AP)

• n-তম পদ: aₙ = a + (n-1)d
• যোগফল: Sₙ = n/2 × [2a + (n-1)d] = n/2 × (প্রথম + শেষ)
• d = a₂ - a₁

গুণোত্তর ধারা (GP)

• n-তম পদ: aₙ = arⁿ⁻¹
• যোগফল: Sₙ = a(rⁿ-1)/(r-1) [r>1]
• অসীম যোগ: S∞ = a/(1-r) [|r|<1]
• r = a₂/a₁

বিশেষ যোগফল (মুখস্থ!)

• 1+2+...+n = n(n+1)/2
• 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6
• 1³+2³+...+n³ = [n(n+1)/2]²
• জোড় (2+4+...+2n) = n(n+1)
• বিজোড় (1+3+...+(2n-1)) = n²

দ্রুত মান

• 1 থেকে 100 যোগ = 5050
• 1 থেকে 50 যোগ = 1275
• n-তম জোড় = 2n, n-তম বিজোড় = 2n-1

প্যাটার্ন চেনার কৌশল

1. অন্তর সমান? → AP
2. অনুপাত সমান? → GP
3. অন্তরের অন্তর সমান? → 2nd order (n² জাতীয়)
4. আগের দুই পদের যোগ? → Fibonacci
5. n², n³, n(n+1) ইত্যাদি চেক করুন

Fibonacci ধারা

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... নিয়ম: F(n) = F(n-1) + F(n-2)

মনে রাখুন

• aₙ = একটি পদ, Sₙ = যোগফল — গুলিয়ে ফেলবেন না!
• 1+2+...+n ≠ n²/2, সঠিক: n(n+1)/2
• বিজোড়ের যোগ = n², জোড়ের যোগ = n(n+1)