১৭. চতুর্ভুজ ও বৃত্ত

---

ধারণা

চতুর্ভুজ ও বৃত্ত BCS গণিতের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ টপিক। বহুভুজের কোণ, বৃত্তের কেন্দ্রস্থ-পরিধিস্থ কোণের সম্পর্ক — এগুলো প্রায় প্রতি বছর পরীক্ষায় আসে।

চতুর্ভুজ হলো চারটি বাহু ও চারটি কোণবিশিষ্ট বদ্ধ আকৃতি। সব চতুর্ভুজের কোণের সমষ্টি = 360°।

বৃত্ত হলো একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (কেন্দ্র) থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত সকল বিন্দুর সেট।

---

মূল সূত্র

চতুর্ভুজের প্রকারভেদ ও বৈশিষ্ট্য:

চতুর্ভুজ	বাহু	কোণ	কর্ণ
সামান্তরিক	বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল	বিপরীত কোণ সমান	পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
আয়তক্ষেত্র	বিপরীত বাহু সমান	সব কোণ 90°	সমান ও সমদ্বিখণ্ডিত
বর্গক্ষেত্র	সব বাহু সমান	সব কোণ 90°	সমান ও সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত
রম্বস	সব বাহু সমান	বিপরীত কোণ সমান	সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত (কিন্তু কর্ণ অসমান)
ট্রাপিজিয়াম	এক জোড়া সমান্তরাল	—	—

n-ভুজের কোণের সূত্র:

• অন্তঃকোণের সমষ্টি = (n - 2) × 180°
• প্রতিটি অন্তঃকোণ (সুষম বহুভুজ) = (n - 2) × 180° / n
• প্রতিটি বহিঃকোণ (সুষম বহুভুজ) = 360° / n
• কর্ণের সংখ্যা = n(n - 3) / 2

বহুভুজ	n	কোণের সমষ্টি	প্রতিটি কোণ	কর্ণ
ত্রিভুজ	3	180°	60°	0
চতুর্ভুজ	4	360°	90°	2
পঞ্চভুজ	5	540°	108°	5
ষড়ভুজ	6	720°	120°	9
অষ্টভুজ	8	1080°	135°	20

বৃত্তের সূত্র:

• পরিধি = 2πr = πd
• ক্ষেত্রফল = πr²
• ব্যাস = 2r
• চাপের দৈর্ঘ্য = (θ/360°) × 2πr
• বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × πr²

বৃত্তের কোণ সংক্রান্ত উপপাদ্য:

• থেলিসের উপপাদ্য: ব্যাসের উপর অর্ধবৃত্তে অঙ্কিত কোণ = 90°
• কেন্দ্রস্থ কোণ = 2 × পরিধিস্থ কোণ (একই চাপের উপর)
• একই চাপের উপর সব পরিধিস্থ কোণ সমান
• চক্রীয় চতুর্ভুজে বিপরীত কোণের সমষ্টি = 180°
• স্পর্শক সর্বদা ব্যাসার্ধের উপর লম্ব স্পর্শবিন্দুতে
• বহিস্থ বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান

---

BCS শর্টকাট

1. বহুভুজের কোণ দ্রুত বের করা: সুষম n-ভুজের প্রতিটি বহিঃকোণ = 360°/n → অন্তঃকোণ = 180° - 360°/n
2. ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল: 6টি সমবাহু ত্রিভুজে ভাগ হয় → ক্ষেত্রফল = 6 × (√3/4)a² = (3√3/2)a²
3. রম্বসের ক্ষেত্রফল: কর্ণ d₁, d₂ হলে = ½ × d₁ × d₂
4. π মনে রাখুন: 22/7 বা 3.14 — MCQ-তে 22/7 বেশি কাজে লাগে
5. বৃত্তে "ব্যাস" শব্দ দেখলে: ব্যাসার্ধ = ব্যাস/2 — প্রশ্নে কোনটি দেওয়া আছে খেয়াল করুন!

---

সমাধান উদাহরণ

উদাহরণ ১: একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত?

→ প্রতিটি কোণ = (n-2) × 180° / n = (5-2) × 180° / 5 = 3 × 36° = 108°

---

উদাহরণ ২: একটি বৃত্তের ব্যাস 14 সেমি। পরিধি ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

→ ব্যাসার্ধ r = 14/2 = 7 সেমি → পরিধি = 2πr = 2 × 22/7 × 7 = 44 সেমি → ক্ষেত্রফল = πr² = 22/7 × 49 = 154 বর্গ সেমি

---

উদাহরণ ৩: একটি বৃত্তে কেন্দ্রস্থ কোণ 120°। একই চাপের উপর পরিধিস্থ কোণ কত?

→ পরিধিস্থ কোণ = কেন্দ্রস্থ কোণ / 2 = 120° / 2 = 60°

---

উদাহরণ ৪: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণ 40°। বহুভুজটি কত ভুজবিশিষ্ট?

→ n = 360° / বহিঃকোণ = 360° / 40° = 9 ভুজ (নবভুজ)

---

উদাহরণ ৫: একটি চক্রীয় চতুর্ভুজের একটি কোণ 70°। তার বিপরীত কোণ কত?

→ চক্রীয় চতুর্ভুজে বিপরীত কোণের সমষ্টি = 180° → বিপরীত কোণ = 180° - 70° = 110°

---

সতর্ক থাকুন — Common Mistakes

• ভুল ১: n-ভুজের কোণ বের করতে গিয়ে (n-2) না লিখে শুধু n × 180° করা — (n-2) ভুলবেন না!
• ভুল ২: ব্যাসার্ধ ও ব্যাস গুলিয়ে ফেলা — প্রশ্নে "ব্যাস 14" বললে r = 7, "ব্যাসার্ধ 14" বললে r = 14
• ভুল ৩: কেন্দ্রস্থ কোণ = 2 × পরিধিস্থ — এটি উল্টো করে পরিধিস্থ = 2 × কেন্দ্রস্থ ভাবা
• ভুল ৪: চক্রীয় চতুর্ভুজে সন্নিহিত কোণ নয়, বিপরীত কোণের সমষ্টি = 180°
• ভুল ৫: রম্বস ও বর্গ গুলিয়ে ফেলা — বর্গে সব কোণ 90°, রম্বসে নয়

---

প্রশ্নে এই শব্দ দেখলে

শব্দ/বাক্য	কী করবেন
"বহুভুজের কোণ"	(n-2) × 180° ব্যবহার করুন
"বৃত্তের কোণ"	কেন্দ্রস্থ/পরিধিস্থ সম্পর্ক
"অর্ধবৃত্তে কোণ"	থেলিস → 90°
"চক্রীয় চতুর্ভুজ"	বিপরীত কোণের যোগ = 180°
"ব্যাস"	r = d/2 — সাবধানে পড়ুন!
"স্পর্শক"	ব্যাসার্ধের উপর লম্ব
"বহিঃকোণ"	= 360°/n (সুষম বহুভুজ)