এই টপিকে মুখস্থ সূত্র কাজে লাগে না। প্রশ্নে থাকে একটা প্রক্রিয়া (যন্ত্র, ক্যালকুলেটর, দুটো বাটন, বা "শুধু এই সংখ্যা দিয়ে বানাও"), আর জানতে চাওয়া হয় কত সময়, সর্বোচ্চ কত, বা সর্বনিম্ন কয় ধাপ।
এমন প্রশ্নে জেতার উপায় তিনটা অভ্যাস:
যেকোনো প্রক্রিয়া প্রশ্ন পড়ে তিনটা জিনিস আলাদা করে লেখো:
তারপর ছোট সংখ্যায় প্রক্রিয়াটা হাতে চালাও (একে বলে simulation)। এতে নিয়মটা ঠিক বুঝেছ কিনা ধরা পড়ে, আর প্রায়ই প্যাটার্নটাও চোখে পড়ে।
উদাহরণ ১। একটা সংখ্যা জোড় হলে তাকে অর্ধেক করা হয়, বিজোড় হলে যোগ করা হয়। থেকে শুরু করলে কয়টি ধাপে পাওয়া যাবে?
| ধাপ | আগে | নিয়ম | পরে |
|---|---|---|---|
| ১ | বিজোড়, | ||
| ২ | জোড়, অর্ধেক | ||
| ৩ | বিজোড়, | ||
| ৪ | জোড়, অর্ধেক | ||
| ৫ | জোড়, অর্ধেক | ||
| ৬ | জোড়, অর্ধেক |
উত্তর টি ধাপ। সারণিতে লিখলে কোনো ধাপ বাদ পড়ে না।
কোনো ধাপ অস্পষ্ট হলে (যন্ত্র একবার না বারবার, কোনো রূপান্তরের সময় ধরা হবে কিনা), ধরে নেওয়া কথাটা এক লাইনে লিখে তারপর হিসাব করো। সমস্যা ৪ (সমাধান পর্ব ১) আর সমস্যা ১ (সমাধান পর্ব ১)-এ এমন হয়েছে: সমাধান পর্বে মূল প্রশ্নের নিচে "পাঠভেদ" অংশে প্রতিটি পাঠের উত্তর আছে, আর MCQ-তে বেছে নেওয়া শর্তটা লেখা থাকে।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৪ (সমাধান পর্ব ১), সমস্যা ১ (সমাধান পর্ব ১), সমস্যা ২ (সমাধান পর্ব ১), সমস্যা ৩ (সমাধান পর্ব ১)
একটা ক্যালকুলেটর একবারে শুধু দুটি সংখ্যা যোগ করতে পারে। টি সংখ্যা যোগ করতে কয়টি যোগ লাগবে?
যুক্তিটা এরকম: শুরুতে কাগজে টি সংখ্যা। প্রতিটি যোগে দুটি সংখ্যা মুছে একটা লেখা হয়, তাই প্রতি যোগে সংখ্যা ঠিক টি কমে। থেকে -এ নামতে লাগে টি যোগ। কোন ক্রমে যোগ করছ, তাতে কিছু আসে যায় না।
এই যুক্তির নাম অপরিবর্তনীয় হিসাব (invariant): প্রতি কাজে কোনো রাশি সবসময় একই পরিমাণ বদলায়, তাই ক্রম না জেনেও মোট কাজ গোনা যায়। আরও দুটি চেহারা:
গুণকে যোগে রূপান্তর। কোনো ক্যালকুলেটর যদি -কে "-কে বার লিখে যোগ" বানায়, তাহলে সেখানে টি পদ, অর্থাৎ টি যোগ। সাবধান, আর -এর মান সমান হলেও যোগের সংখ্যা সমান নয়।
উদাহরণ ২। একটা ক্যালকুলেটর গুণ পারে না। পেলে প্রথমে সেটাকে -কে বার লিখে যোগে রূপান্তর করে (প্রতি রূপান্তরে সেকেন্ড), তারপর দুটি দুটি করে যোগ করে (প্রতি যোগে সেকেন্ড)। হিসাব করতে কত সময় লাগবে?
কাজের ধরন অনুযায়ী সারণি বানাও:
| কাজ | কয়টি | প্রতিটির সময় | মোট সময় |
|---|---|---|---|
| রূপান্তর ( ও ) | |||
| যোগ: -এর টি পদে | |||
| যোগ: -এর টি পদে | |||
| যোগ: |
উত্তর সেকেন্ড। একই হিসাব যদি লেখা থাকত, তাহলে যোগ হতো টি, সময় সেকেন্ড। তাই কোনটা কতবার লেখা হচ্ছে, সেটা প্রশ্নের উদাহরণ থেকে মিলিয়ে নাও।
সমস্যা ৪ (সমাধান পর্ব ১)-এ সব ধাপ গুনলে ( যোগ, ঘাত → গুণ একটি রূপান্তর, বাঁ থেকে ডানে গুণ) সেকেন্ড; ঘাত → গুণ বদলের সময় বাদ দিলে , যোগ বাদ দিলে ।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৪ (সমাধান পর্ব ১)
"সর্বোচ্চ কত পাওয়া যায়" প্রশ্নে আগে দেখো ফলটা কোন রাশির উপর নির্ভর করে। রাশিটা বাড়লে ফলও বাড়লে (একে বলে বাড়ন্ত সম্পর্ক), সর্বোচ্চ ফল পেতে রাশিটাকে তার সীমা পর্যন্ত নিতে হবে। তখন বাকি কাজ একটাই: সীমাটা ঠিকমতো বের করা।
উদাহরণ ৩। তোমার কাছে টাকা। অনলাইন দোকানে প্রতিটি খাতা টাকা, আর অর্ডারে একবার টাকা ডেলিভারি খরচ। সর্বোচ্চ কয়টি খাতা কেনা যাবে?
টি খাতায় খরচ । শর্ত:
খাতা পূর্ণসংখ্যা, তাই সর্বোচ্চ টি; খরচ টাকা, টাকা বাঁচে। লক্ষ করো, স্থির খরচটা ( টাকা) আগে বাদ দিয়েছি, তারপর ভাগ করেছি। করে বলা ভুল।
প্রক্রিয়াটা বারবার করা গেলে? তখন প্রশ্ন বদলে যায়: প্রতিবার ব্যবহারে হাতের টাকা বাড়ে, না কমে?
উদাহরণ ৪। একটা যন্ত্রে যত টাকা জমা দাও, যন্ত্রটা তা থেকে টাকা ফি কেটে বাকিটার দ্বিগুণ ফেরত দেয়। প্রতিবার হাতের সব টাকা জমা দিলে, টাকা থেকে হয়
কোন -এ টাকা বদলায় না? থেকে । এই হলো স্থির বিন্দু। এখন হাতের টাকা আর -এর পার্থক্য দেখো:
অর্থাৎ স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব প্রতিবার দ্বিগুণ হয়।
তাই বারবার ব্যবহারের প্রশ্নে আগে স্থির বিন্দু বের করো: শুরু তার উপরে হলে মান সীমাহীনভাবে বাড়ে, "সর্বোচ্চ" থাকে না। প্রশ্ন নির্দিষ্ট সর্বোচ্চ মান চাইলে সম্ভবত একবার ব্যবহারের কথাই বলা হয়েছে; সেটা লিখে স্পষ্ট করো। সমস্যা ১ (সমাধান পর্ব ১)-এ একবার ব্যবহারে উত্তর ; বারবার ব্যবহারে টাকা সীমাহীন বাড়ে, তাই সেই পাঠে "সর্বোচ্চ" বলে কোনো উত্তর নেই।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১ (সমাধান পর্ব ১)
"শুধু একটা সংখ্যা ব্যবহার করে লক্ষ্য বানাও, সর্বনিম্ন কয়টি লাগবে?" এমন প্রশ্নে আগে দেখো একটি বা দুটি কপি দিয়ে কী কী ছোট সংখ্যা ("ইট") বানানো যায়, আর প্রতিটি ইটের খরচ কত কপি।
ধরো শুধু ব্যবহার করা যাবে, সঙ্গে যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ আর বর্গমূল (ঋণাত্মক সংখ্যা চলবে না)।
| কয়টি | যে পূর্ণসংখ্যাগুলো পাওয়া যায় |
|---|---|
| ১টি | , |
| ২টি |
বর্গমূলে নতুন কপি লাগে না, তাই বিনা খরচের ইট। কিন্তু -এ দুটি কপি লাগে। এটা মনে রাখো: বিজোড় ইট সস্তা নয়।
উদাহরণ ৫। শুধু দিয়ে বানাতে সর্বনিম্ন কয়টি লাগে?
গঠন। -এর কাছের সুন্দর সংখ্যা , এতে টি । বাকি , এতে আরও টি।
মোট টি । এর চেয়ে কমে কেন হয় না, তা অনুচ্ছেদ ৫-এ।
উদাহরণ ৬। শুধু দিয়ে বানাতে সর্বনিম্ন কয়টি লাগে?
একটি দিয়ে পাওয়া যায় ও । দুটি দিয়ে পূর্ণসংখ্যা পাওয়া যায় , এখানে নেই। তিনটি দিয়ে হয়:
সর্বনিম্ন টি।
আরেকটা চাল: লক্ষ্যকে একটা ইট দিয়ে গুণ করা বড় সংখ্যায় পৌঁছে শেষে সেই ইট দিয়ে ভাগ করো। দুই দিক থেকেই চেষ্টা করো; দুটো গঠনে একই সংখ্যক কপি লাগা ইঙ্গিত মাত্র, প্রমাণ নয়।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ২ (সমাধান পর্ব ১)
"সর্বনিম্ন" বা "সর্বোচ্চ" প্রশ্নের উত্তর সবসময় দুই অংশে:
একটা পথ পেলেই প্রমাণ হয় না যে এটাই সর্বনিম্ন। নিচের সীমার তিনটি হাতিয়ার:
(ক) তালিকা। কম কপিতে যা যা পাওয়া যায় তার পূর্ণ তালিকা বানাও। লক্ষ্য তালিকায় না থাকলে সেই সংখ্যক কপিতে হয় না। উদাহরণ ৬-এ দুটি -এর তালিকায় নেই, তাই -ই সর্বনিম্ন।
(খ) আকার। কম কপিতে সবচেয়ে বড় কত পাওয়া যায়? তিনটি দিয়ে সবচেয়ে বড় মান ; বর্গমূল -এর বেশি সংখ্যাকে ছোট করে, আর ছোট ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করেও পেরোনো যায় না (কম্পিউটারে যাচাই)। উদাহরণ ৫-এ শেষ ধাপে বর্গমূল নিয়ে পেতে হলে ভেতরে লাগত , যা -এর অনেক বেশি। আর তিনটি -কে "একটি + দুটি"-তে ভাগ করলে একটি অংশ বা , অন্যটি উপরের তালিকা থেকে:
তাই তিনটি -এ হয় না, উত্তর । (মাঝে -এর মতো অপূর্ণ মান আসলেও হয় না; কম্পিউটারে সব রাশি গুনে এটা যাচাই করা হয়েছে।)
(গ) জোড়-বিজোড়। সব ইট জোড় হলে যোগ, বিয়োগ, গুণে সবসময় জোড়ই আসে:
বিজোড় আসার একমাত্র রাস্তা ভাগ, আর ভাগে কপি খরচ হয়; তাই বড় বিজোড় লক্ষ্যে বেশি কপি লাগে। লক্ষ্য মৌলিক হলে গুণ দিয়ে শেষ করা যায় না ( ছাড়া)।
ধাপ গোনার প্রশ্নে (অনুচ্ছেদ ৬) নিচের সীমার হাতিয়ার হলো: টি ধাপে সর্বোচ্চ কতটা অগ্রগতি সম্ভব, তার সারণি।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ২ (সমাধান পর্ব ১), সমস্যা ৩ (সমাধান পর্ব ১)
মানে -এর পূর্ণসংখ্যা অংশ: , । একটা সুন্দর নিয়ম আছে:
কেন সত্য। -কে দিয়ে ভাগ করো: , যেখানে । তারপর -কে দিয়ে: , যেখানে । তাহলে
আর বাকি অংশ , অর্থাৎ -এর চেয়ে ছোট। তাই -কে দিয়ে ভাগ করলেও ভাগফল ।
যাচাই: , , আর ✓।
তাই "বারবার পূর্ণ-অংশ ভাগ" প্রক্রিয়ায় শুধু ভাজকগুলোর গুণফল দেখলেই হয়: শেষে মান , আর সেটা হয় ঠিক তখন, যখন ।
উদাহরণ ৭। পর্দায় একটা সংখ্যা আর একটা ভাজক । বাটন A ক্লিক করলে হয়ে যায় ; বাটন B ক্লিক করলে এক বাড়ে। সর্বনিম্ন কয়টি ক্লিকে হবে?
প্রস্তুতি আগে। B-কে A-এর আগে ক্লিক করলে পরের প্রতিটি A বড় ভাজক পায়, তাই সব B আগে। মোট টি ক্লিকের মধ্যে টি B আর টি A হলে সবচেয়ে বড় গুণফল ।
| সবচেয়ে ভালো ভাগ | সর্বোচ্চ | পেরোয়? | |
|---|---|---|---|
| ৬ | , | না | |
| ৭ | , | হ্যাঁ |
ছয় ক্লিকে বাকি ভাগগুলোও দেখো: , , , , আর হলে । কোনোটাই পেরোয় না, তাই ছয় ক্লিকে অসম্ভব। সাত ক্লিকের পথ: B, B (ভাজক ), তারপর A পাঁচবার:
উত্তর টি ক্লিক। কম হলে ভাজক ছোট থাকে, বেশি হলে A-এর জন্য ক্লিক থাকে না; ভারসাম্য সারণি দেখে ঠিক করো।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৩ (সমাধান পর্ব ১)
সংখ্যা ছোট হলে আরেকটা নিশ্চিত পদ্ধতি আছে: শুরু থেকে এক ক্লিকে যেসব অবস্থায় যাওয়া যায় সব লেখো, তারপর দুই ক্লিকে, এভাবে স্তরে স্তরে। একই অবস্থা দ্বিতীয়বার এলে আর লিখো না। যে স্তরে প্রথম লক্ষ্য পৌঁছায়, সেটাই সর্বনিম্ন ধাপ। এর নাম প্রস্থ-প্রথম অনুসন্ধান (breadth-first search, BFS); কম্পিউটারও এভাবেই উত্তর যাচাই করে।
উদাহরণ ৭-এর নিয়মে , দিয়ে শুরু করি। অবস্থা লিখি :
দুই স্তর পর্যন্ত কোথাও নেই। তৃতীয় স্তরে থেকে A ক্লিক করলে । তাই সর্বনিম্ন টি ক্লিক (B, A, A: )। অনুচ্ছেদ ৬-এর সারণিও একই কথা বলে: দুই ক্লিকে সর্বোচ্চ হলো বা , যা পেরোয় না; তিন ক্লিকে ।
বড় সংখ্যায় হাতে BFS অসম্ভব (প্রতি স্তরে অবস্থা প্রায় দ্বিগুণ), তাই প্রতিযোগিতায় যুক্তি দিয়ে উত্তর বের করো আর ছোট ক্ষেত্রে BFS দিয়ে পরখ করো। অনুচ্ছেদ ৪-এর ইটের তালিকাও একই ধারণা: এক কপিতে কী, দুই কপিতে কী।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৩ (সমাধান পর্ব ১), সমস্যা ২ (সমাধান পর্ব ১)
এই টপিকের চারটি প্রশ্নই নিজ নিজ প্রশ্নপত্রের প্রথম বা দ্বিতীয় প্রশ্ন ছিল: দুটি আঞ্চলিক পর্বের ( ও ), দুটি জাতীয় পর্বের ( ও )। এখানে নম্বর হারায় মূলত নিয়ম ভুল পড়ায় বা একটা কাজ গুনতে ভুলে যাওয়ায়। চারটির দুটিতে "সর্বনিম্ন কয়টি/কতবার" চাওয়া হয়েছে, তাই "গঠন + অসম্ভবতা" দুই অংশের উত্তর দেওয়ার অভ্যাস করো।
| প্রশ্নে যা দেখবে | কৌশল | অনুচ্ছেদ |
|---|---|---|
| যন্ত্র/বাটন/ক্যালকুলেটরের নিয়ম | অবস্থা-চাল-লক্ষ্য লেখো, ছোট সংখ্যায় হাতে চালাও | ১ |
| "কত সময় লাগবে", প্রতিটি কাজে আলাদা সময় | কাজের ধরন অনুযায়ী সারণি, টি পদে টি যোগ | ২ |
| "যেভাবেই করো, কয়টি কাজ লাগবে" | প্রতি কাজে কী ঠিক বদলায় (invariant) | ২ |
| "সর্বোচ্চ কত পাওয়া যায়", স্থির খরচ আছে | খরচ বাদ দিয়ে সীমা, রাশিকে সীমা পর্যন্ত | ৩ |
| প্রক্রিয়া বারবার করা যায় | স্থির বিন্দু, তার থেকে দূরত্ব বাড়ে না কমে | ৩ |
| "শুধু এই সংখ্যা দিয়ে বানাও, সর্বনিম্ন কয়টি" | ইটের তালিকা, কাছের সুন্দর সংখ্যা, তারপর নিচের সীমা | ৪–৫ |
| বারবার পূর্ণ-অংশ ভাগ, ভাজক বাড়ানোর বাটন | গুণফল দিয়ে একবারে ভাগ, সারণি | ৬ |
| "সর্বনিম্ন কতবার", সংখ্যা ছোট | স্তরে স্তরে সব অবস্থা (BFS) | ৭ |
| শেষ ফল দেওয়া, শুরুর মান চাই | পেছন থেকে উল্টো কাজ | নিচে দেখো |
পেছন থেকে কাজ (এই টপিকে লাগেনি, তবে প্রায়ই আসে)। একটা সংখ্যাকে তিনবার "দ্বিগুণ করে যোগ" করলে হলো; শুরুর সংখ্যা? উল্টো কাজ " বিয়োগ করে অর্ধেক": । যাচাই: ✓।
নতুন প্রশ্নে প্রথম এক মিনিটে: (১) অবস্থা ও চাল প্রতীকে লেখো, (২) ছোট সংখ্যায় দু-তিন ধাপ চালাও, (৩) অস্পষ্টতা থাকলে ধরে নেওয়া কথা লেখো, (৪) শেষ লাইন দাগাও: সময়, ফেরত, না ধাপ?