এই টপিকের প্রশ্নগুলো দেখতে আলাদা আলাদা: সংখ্যার ধারা, বর্ণ-সংখ্যা ধাঁধা, ছবির প্যাটার্ন, খামারের গল্প, গোল টেবিল, ক্যালেন্ডার, নামের সংকেত, নষ্ট ঘড়ি। কিন্তু সবগুলোর ভেতরে একই কাজ: একটা লুকানো নিয়ম খুঁজে বের করা, তারপর নিয়মটা যাচাই করা।
তিনটা অভ্যাস পুরো টপিক জুড়ে কাজে লাগবে:
ধারায় নিয়ম চোখে না পড়লে প্রথম কাজ পরপর দুই পদের অন্তর (difference) লেখা। অন্তরগুলো প্রায়ই একটা চেনা তালিকা হয়:
| অন্তরে যা দেখবে | চেনা তালিকা |
|---|---|
| বিজোড় সংখ্যা (পদগুলো তখন বর্গ সংখ্যার কাছাকাছি) | |
| বর্গ সংখ্যা | |
| মৌলিক সংখ্যা (, বাদ যায়) | |
| -এর ঘাত (পদগুলো তখন দ্বিগুণের কাছাকাছি) | |
| ত্রিভুজ সংখ্যা (দ্বিতীয় অন্তর ) |
উদাহরণ ১। ধারা । কত?
অন্তর লিখি:
| পদ | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| পরের পদের সঙ্গে অন্তর | ? |
অন্তরগুলো বর্গ সংখ্যা । তাহলে পরের অন্তর , , :
যাচাই: , ঠিক শেষে দেওয়া পদ। তাই নিয়মটা দেওয়া সব তথ্যের সঙ্গে মিলেছে, আর ।
শুধু যোগফল চাইলে দুই দিক থেকে এগোও। আসে সামনে থেকে, আসে পেছন থেকে:
শেষ পদ কেন এত জরুরি? দেখে পরের পদ (দ্বিগুণ) ভাবা যায়, আবার -ও ভাবা যায় (অন্তর )। প্রথম তিনটা সংখ্যা দুটো নিয়মের সঙ্গেই মেলে। পরে দেওয়া একটা পদই ঠিক করে দেয় কোন নিয়ম আসল।
উদাহরণ ২। ধারা । কত?
অন্তর , অর্থাৎ -এর ঘাত, পরের অন্তর । তাই । যাচাই: পরের অন্তর , আর ✓।
অন্তরেও চেনা কিছু না পেলে দ্বিতীয় অন্তর। : অন্তর , আর অন্তরের অন্তর । তাহলে পরের দ্বিতীয় অন্তর , পরের অন্তর , ।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১ (সমাধান পর্ব ১)
"প্রতিটি বর্ণ থেকে -এর একটি ভিন্ন সংখ্যা" আর সঙ্গে কয়েকটা যোগের সমীকরণ। সব বিন্যাস ( বর্ণে টি) দেখা অসম্ভব। তিনটা হাতিয়ার:
উদাহরণ ৩। ছয়টি বর্ণ থেকে -এর ছয়টি ভিন্ন সংখ্যা। যদি
হয়, তাহলে -এর মান কত?
ধাপ ১ — বসাও। প্রথমটা দ্বিতীয়টায় বসালে । অর্থাৎ তিনটি ভিন্ন বর্ণের যোগফল।
ধাপ ২ — সীমা। , আবার । তাই , আর মিলে ঠিক (কোন ক্রমে, এখনো জানি না)।
ধাপ ৩ — বাকি দুটি। তাহলে আর মিলে বাকি আর । দুটো যোগ করি:
আবার । তাই , অর্থাৎ ।
লক্ষ করো, পুরো সমাধান একটা নয়: আর দুটোই চলে। কিন্তু চাওয়া বর্ণ দুটোতেই । পুরো সমাধান একমাত্র না হলেও চাওয়া বর্ণটি একমাত্র হতে পারে। তাই প্রথম যে সমাধান পাও, সেখানে থেমো না; সব কেস দেখে নিশ্চিত হও যে উত্তর বদলায় না।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ২ (সমাধান পর্ব ১)
ছবির প্যাটার্নে প্রথম প্রশ্ন: প্রতি ধাপে ঠিক কী যোগ হচ্ছে? দুই রকম হয়।
যোগ করে বাড়া। দেশলাইয়ের কাঠি দিয়ে পাশাপাশি বর্গ: প্রথম বর্গে টি কাঠি, তারপর প্রতিটি নতুন বর্গে টি (একটা বাহু আগের বর্গের সঙ্গে ভাগাভাগি)। টি বর্গে কাঠি ; টি বর্গে টি। প্রতি ধাপে একই সংখ্যা যোগ হয়।
গুণ করে বাড়া। ছবির প্রতিটি অংশ থেকে কয়েকটা নতুন অংশ জন্মালে নতুন অংশের সংখ্যা প্রতি ধাপে গুণ হয়ে বাড়ে।
উদাহরণ ৪। ধাপ ১-এ একটা রঙিন ত্রিভুজ। প্রতি ধাপে প্রতিটি রঙিন ত্রিভুজের তিন বাহুর মধ্যবিন্দু যোগ করে মাঝের ছোট ত্রিভুজটা সাদা করা হয়। ধাপ ৫-এ কয়টি রঙিন ত্রিভুজ, আর এ পর্যন্ত মোট কয়টি সাদা ত্রিভুজ?
প্রতিটি রঙিন ত্রিভুজ ভেঙে হয় টি রঙিন + টি সাদা। স্তর ধরে সারণি বানাও:
| ধাপ | রঙিন ত্রিভুজ | এই ধাপে নতুন সাদা | মোট সাদা |
|---|---|---|---|
| ১ | |||
| ২ | |||
| ৩ | |||
| ৪ | |||
| ৫ |
রঙিন টি, তাই ধাপ ৫-এ টি। আর মোট সাদা টি।
গুণোত্তর যোগফলের ছোট প্রমাণ। ধরো। তিন দিয়ে গুণ করলে । দুটো বিয়োগ করলে মাঝের সব পদ কেটে যায়:
একইভাবে দিয়ে গুণ করে পাবে
সবসময় দেখো: "মোট" না "নতুন"? ধাপ ৫-এ নতুন সাদা ত্রিভুজ টি, কিন্তু আগের সাদাগুলোও ছবিতে আছে, মোট টি।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৩ (সমাধান পর্ব ১)
লম্বা গল্পে অনেক সংখ্যা থাকলে আগে শেষ বাক্যটা পড়ো: ঠিক কোন দল নিয়ে প্রশ্ন? তারপর প্রতিটি তথ্যকে জিজ্ঞেস করো, "এটা কি চাওয়া জিনিসটার সঙ্গে জড়িত?" না হলে সরিয়ে রাখো; অপ্রয়োজনীয় তথ্য (distractor) ইচ্ছা করেই দেওয়া হয়।
উদাহরণ ৫। নাসিমের খামারে হাঁস, মুরগি, ছাগল আর গরু আছে; মুরগির মোট পা ছাগলের মোট পায়ের চেয়ে টি কম, আর গরু টি। একদিন নাসিম তার বোনকে সঙ্গে নিয়ে টি হাঁস আর টি ছাগল নিয়ে হাটে গেল। হাটে যাওয়া দলে মোট কয়টি পা?
প্রশ্ন শুধু হাটে যাওয়া দলটা নিয়ে। খামারের তথ্য এখানে লাগে না। দলে কে কে, সারণিতে লেখো (মানুষ দুজনও দলে):
| সদস্য | সংখ্যা | প্রতিজনের পা | মোট পা |
|---|---|---|---|
| হাঁস | |||
| ছাগল | |||
| নাসিম ও বোন |
মোট টি পা।
আরেক পথ, "আগে সবাইকে সমান দাও": জন সদস্যকে টি করে পা দিলে , তিনটি ছাগলের বাড়তি টি করে , মোট । এই কৌশলে মাথা-পায়ের ক্লাসিক প্রশ্নও মুহূর্তে হয়: মুরগি আর ছাগল মিলে টি মাথা, টি পা। সবাইকে টি করে দিলে টি পা; বাকি টি পা ছাগলদের বাড়তি, প্রতিটি ছাগলের বাড়তি টি, তাই ছাগল টি, মুরগি টি। যাচাই: ✓।
দেওয়া তথ্যে কোনো রাশি (যেমন পুরো খামারের পা) একাধিক মান নিতে পারলে প্রশ্নটা সম্ভবত ওই রাশি নিয়ে নয়। কোনো কথা অস্পষ্ট হলে (মানুষটা নিজে দলে গোনা হবে কিনা) ধরে নেওয়া কথাটা এক লাইনে লিখে তারপর হিসাব করো। সমস্যা ৪ (সমাধান পর্ব ১)-এ ঠিক এটাই: দল আর শাকুর নিজে → , শাকুর বাদ → , পুরো খামার → তথ্য থেকে উত্তর ঠিক হয় না। সমাধান পর্বে মূল প্রশ্ন আর তিন পাঠই আছে; MCQ-তে "শাকুর নিজেও দলে" শর্তটা লেখা থাকে।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৪ (সমাধান পর্ব ১)
ধরো একটা সারিতে সংখ্যা , আর যেকোনো পরপর টির যোগফল সমান। তাহলে
দুই দিকে সাধারণ, কেটে দিলে । একইভাবে , , … অর্থাৎ
সংখ্যাগুলো পর্যায় (period) নিয়ে ঘোরে। সাধারণভাবে "যেকোনো পরপর টির যোগফল সমান" হলে । গুণফলের বেলায়ও একই, শুধু একটা শর্ত: কোনো সংখ্যা নয় (নইলে ভাগ করে কাটা যায় না)।
তারপর কাজ একটাই: ঘর নম্বরকে দিয়ে ভাগ করো। একই ভাগশেষের ঘরে একই সংখ্যা।
উদাহরণ ৬। একটা সারিতে টি বাক্স। যেকোনো পরপর টি বাক্সের সংখ্যার যোগফল । ম বাক্সে , ষ্ঠ বাক্সে , তম বাক্সে । তম বাক্সে কত?
পর্যায় , তাই ঘর নম্বরকে দিয়ে ভাগ করি:
| বাক্স | ||||
|---|---|---|---|---|
| দিয়ে ভাগশেষ | ||||
| সংখ্যা | ? |
চারটি ভাগশেষের চারটি সংখ্যা পরপর চারটি বাক্সে একবার করে আসে, তাই তাদের যোগফল :
গোল টেবিলে সাবধান। বৃত্তে শেষ আর প্রথম ঘরও পাশাপাশি। টি চেয়ারে ঘুরে ঘুরে চলতে থাকে, আর একটা চেয়ার থেকে ঘর করে লাফিয়ে যতগুলো চেয়ারে পৌঁছানো যায়, সবগুলোতে একই সংখ্যা। এমন আলাদা দলের সংখ্যা আর -এর গসাগু।
গসাগু হলে বৃত্তে আলাদা সংখ্যা থাকতেই পারে না; প্রশ্নে আলাদা সংখ্যা দেওয়া থাকলে সারিটা খোলা ধরতে হয়। সমস্যা ৭ (সমাধান পর্ব ২)-এ টি চেয়ার, গসাগু : ছাপা প্রশ্নের মতো পুরো বৃত্ত ধরলে উত্তর নেই; -এর চেয়ার থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে খোলা সারি ধরলে (অন্য জায়গায় কাটলে )। MCQ-তে খোলা সারির শর্তটা লেখা থাকে।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৭ (সমাধান পর্ব ২)
বারের সব হিসাব আসলে দিয়ে ভাগশেষ। মাসের ভেতরের প্রশ্নে তিনটা তথ্যই যথেষ্ট।
(ক) দিনে প্রতিটি বার ঠিক বার। , তাই যেকোনো পরপর দিনে প্রতিটি বার ঠিক বার। মাসে -এর বেশি যে কয়টি দিন, সেই বাড়তি দিনগুলো ( তারিখ) মাসের প্রথম কয়েকটি তারিখের () বারেই পড়ে, কারণ । তাই:
| মাসের দিন | কয়টি বার বার আসে | কোন কোন বার |
|---|---|---|
| কোনোটিই নয় | ||
| তারিখের বার | ||
| ও তারিখের বার | ||
| , ও তারিখের বার |
(খ) পরের মাসের তারিখ। মাসের দিনসংখ্যাকে দিয়ে ভাগ করো; ভাগশেষ যত, পরের মাসের তারিখ তত বার এগোয়: , , , ।
উদাহরণ ৭। কোনো এক বছরের জুলাই মাসে টি মঙ্গলবার ও টি বুধবার আছে, কিন্তু সোমবার মাত্র টি। ঐ বছরের আগস্ট কী বার?
জুলাই দিনের, তাই , , তারিখের বার বার আসে, অর্থাৎ পরপর তিনটি বার। মঙ্গল আর বুধ দুটোই এই তিনের মধ্যে, আর সোমবার নেই। পরপর তিনটি বারে মঙ্গল-বুধ আছে অথচ সোম নেই, এমন একটাই: মঙ্গল, বুধ, বৃহস্পতি। তাই জুলাই মঙ্গলবার।
-এর ভাগশেষ , তাই আগস্ট মঙ্গলবার থেকে বার এগিয়ে শুক্রবার। (মিলিয়ে দেখো: ২০২৫ সালের ১ জুলাই ছিল মঙ্গলবার, ১ আগস্ট শুক্রবার।)
উদাহরণ ৮। কোনো বছরের এপ্রিল বুধবার হলে ঐ বছরের ডিসেম্বর কী বার?
মাঝের দিনগুলো মাস ধরে গুনে প্রতিটির দিয়ে ভাগশেষ নিই: এপ্রিলের বাকি দিন (), মে থেকে নভেম্বর দিন (), ডিসেম্বরের দিন ()। মোট দিন , ভাগশেষের যোগফল । তাই বুধবার থেকে বার এগিয়ে সোমবার। (ফেব্রুয়ারি মাঝে নেই, তাই অধিবর্ষ কিনা জানার দরকার পড়েনি।)
ফেব্রুয়ারির বিশেষ সংকেত। ফেব্রুয়ারিতে কোনো বার বার এলে মাসটা দিনের, বছরটা অধিবর্ষ, আর ও ফেব্রুয়ারি একই বার।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৫ (সমাধান পর্ব ২)
সরানো সংকেত। কোনো সংকেতে প্রতিটি অক্ষর বর্ণমালায় নির্দিষ্ট ঘর সামনে সরে। যেমন MATH লেখা হয় PDWK: M থেকে P, A থেকে D, প্রত্যেকে ঘর সামনে। তাহলে ZERO কীভাবে লেখা হবে? E থেকে H, R থেকে U, O থেকে R। আর Z-এর পরে বর্ণ নেই, তাই আবার শুরু থেকে: Z থেকে A, B, C। উত্তর CHUR।
অক্ষরকে সংখ্যায় লেখা। , , …, নিয়মে নাম লিখে পরপর বসালে একটা লম্বা সংখ্যা হয়। এমন প্রশ্নে প্রথম কাজ: পুরো রূপান্তর লিখে প্রতিটি অঙ্ক কতবার আছে গোনা। দুই অঙ্কের অক্ষরগুলোর (, , ) প্রতিটি অঙ্ক আলাদা করে গুনতে ভুলো না।
প্যালিনড্রোমের গঠন। যে সংখ্যা উল্টালেও একই থাকে, সেটা প্যালিনড্রোম। অঙ্কের প্যালিনড্রোম দেখতে : আর লাগে দুবার করে, একবার, আর । মাঝের অঙ্ক ছাড়া প্রতিটি অঙ্ক জোড়ায় লাগে।
সর্বনিম্ন বা সর্বোচ্চ সংখ্যা বানাতে লোভী (greedy) নিয়ম। বাম দিকের ঘর সবচেয়ে দামি। তাই বাম থেকে একটা একটা ঘর ভরো: প্রতিটি ঘরে সবচেয়ে ছোট (বা বড়) এমন অঙ্ক, যেটা দিয়ে বাকি ঘরগুলো তখনো ভরা যায়।
উদাহরণ ৯। NADIA নামটি এই নিয়মে লিখে পাওয়া সংখ্যার অঙ্কগুলো দিয়ে (প্রতিটি অঙ্ক যতবার আছে সর্বোচ্চ ততবার) অঙ্কের সবচেয়ে ছোট ও সবচেয়ে বড় প্যালিনড্রোম কত?
| অক্ষর | N | A | D | I | A |
|---|---|---|---|---|---|
| সংখ্যা |
পরপর লিখলে । অঙ্ক গুনি: আছে বার, আছে বার, একবার।
সবচেয়ে ছোট: -তে দুটি একই অঙ্ক লাগে, সবচেয়ে ছোট (টির টি খরচ, বাকি টি)। -তেও দুটি লাগে: বাকি মাত্র একটি, চলবে না; পরের -এর দুটি আছে, তাই । -তে একটি লাগে: সবচেয়ে ছোট বাকি । উত্তর ।
সবচেয়ে বড়: -তে সবচেয়ে বড় এমন অঙ্ক, যার অন্তত দুটি আছে: একটি, চলবে না; -এর দুটি আছে, । : দুটি লাগে, বাকি আছে শুধু (তিনটি), । : বাকি অঙ্কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় । উত্তর ।
লক্ষ করো, সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটা বা নয়: মাত্র তিনটি, অথচ ওগুলোতে লাগে পাঁচটি ও চারটি।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৬ (সমাধান পর্ব ২)
নষ্ট ঘড়ির প্রশ্নে দুটি সময় পাশাপাশি চলে: ঘড়ি যা দেখায় আর আসলে যত সময় পেরোয়। দুটো আলাদা কলামে লেখো।
মনে রাখার তথ্য: ঘণ্টার কাঁটার এক পাক ঘণ্টা, মিনিটের কাঁটার এক পাক ঘণ্টা।
উদাহরণ ১০। একটা ঘড়ি প্রতি আসল ঘণ্টায় মিনিট পিছিয়ে পড়ে। দুপুর টায় ঘড়িটা ঠিক করা হলো। ঘড়িতে যখন সন্ধ্যা টা, আসল সময় কত?
আসল মিনিটে ঘড়ি এগোয় মিনিট। ঘড়ি এগিয়েছে ঘণ্টা মিনিট। তাই আসল সময় পেরিয়েছে
অর্থাৎ ঘণ্টা মিনিট; আসল সময় সন্ধ্যা টা মিনিট। সরাসরি মিনিট যোগ করা ভুল: মিনিট পিছোয় আসল ঘণ্টায়, ঘড়ির ঘণ্টায় নয়।
গতি বারবার দ্বিগুণ বা অর্ধেক। গতি বার অর্ধেক হলে ঘড়ির মিনিটে আসল মিনিট লাগে; বার দ্বিগুণ হলে লাগে মিনিট। তাই এমন প্রশ্ন আসলে -এর ঘাতের সারণি:
অপরিবর্তনীয় অবস্থান। গতি যদি বদলায় সবসময় একই অবস্থানে (যেমন ঘণ্টার কাঁটা -তে ফিরলে), তাহলে বদলের মুহূর্তে ঘড়ি সবসময় একই সময় দেখায়, কতবার বদলাল তা যা-ই হোক।
উদাহরণ ১১। দুপুর টায় চালু হওয়া একটা ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা যতবার এক পাক ঘুরে আবার -তে আসে, ততবার ঘড়ির গতি দ্বিগুণ হয়। প্রথম যে মুহূর্তে ঘড়ির এক ঘণ্টা পার হতে আসল এক মিনিটের কম সময় লাগবে, তখন ঘড়িতে কয়টা বাজে, আর আসল সময় কত?
কতবার? বার দ্বিগুণ হলে ঘড়ির এক ঘণ্টায় লাগে আসল মিনিট। চাই । সারণি থেকে যথেষ্ট নয়, যথেষ্ট; তাই ষ্ঠ বার দ্বিগুণ হওয়ার মুহূর্তে।
ঘড়িতে কয়টা? গতি দ্বিগুণ হয় শুধু যখন ঘণ্টার কাঁটা -তে ফেরে, তাই তখন ঘড়িতে ।
আসল সময়? পাকগুলোতে আসল সময় লাগে , , , … ঘণ্টা; ছয় পাকে মোট
অর্থাৎ ঘণ্টা মিনিট সেকেন্ড পরে, পরদিন সকাল টা মিনিট সেকেন্ডে; ঘড়ি তখনো দেখাচ্ছে ।
এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৮ (সমাধান পর্ব ২)
এই টপিকের আটটি প্রশ্নের পাঁচটি ২০২৩ সালের আঞ্চলিক পর্বের, একটি ২০২৩ সালের নির্বাচনী পর্বের, দুটি ২০২৪ সালের আঞ্চলিক পর্বের। আঞ্চলিক প্রশ্নপত্রে এরা বসেছিল দ্বিতীয় থেকে সপ্তম প্রশ্নের মধ্যে, অর্থাৎ সহজ-মাঝারি অংশে; একটি প্রশ্নপত্রেই (যশোর, ২০২৩) তিনটি। কঠিন সূত্র লাগে না; নম্বর হারায় নিয়ম যাচাই না করায়।
| প্রশ্নে যা দেখবে | কৌশল | অনুচ্ছেদ |
|---|---|---|
| ধারায় ফাঁকা পদ, শেষে একটা পদ দেওয়া | অন্তর, দরকারে দ্বিতীয় অন্তর; শেষ পদ দিয়ে যাচাই; যোগফল চাইলে দুই দিক থেকে | ১ |
| "প্রতিটি বর্ণ থেকে -এর ভিন্ন সংখ্যা" | বসিয়ে লেখো, সর্বোচ্চ মান দিয়ে সীমা, যোগফল ক্ষুদ্রতম নয় | ২ |
| ছবির প্রতিটি অংশ থেকে নতুন অংশ | স্তরের সারণি, গুণোত্তর যোগফল, "মোট" না "নতুন" | ৩ |
| লম্বা গল্প, অনেক সংখ্যা, শেষে একটা দল | শেষ বাক্য আগে, দরকারি তথ্য বাছাই, সদস্য ধরে সারণি | ৪ |
| "যেকোনো পরপর টির যোগফল/গুণফল সমান" | , ঘর নম্বরকে দিয়ে ভাগ; বৃত্তে গসাগু | ৫ |
| "কোনো মাসে টি অমুক বার" | দিনসংখ্যা = কয়টি বার বার; পরের মাসে ভাগশেষ | ৬ |
| অক্ষর → সংখ্যা, "সর্বনিম্ন/সর্বোচ্চ সংখ্যা বানাও" | অঙ্কের তালিকা, গঠন (), বাম থেকে লোভী | ৭ |
| ঘড়ির গতি বদলায়, -এর মতো সীমা | ঘড়ি-সময় ও আসল-সময় দুই কলাম, সারণি, বদলের অবস্থান | ৮ |