গসাগু ও লসাগু — লেকচার শিট

এই লেকচারে কী শিখবে

অলিম্পিয়াডে গসাগু-লসাগুর প্রশ্ন আসে ঘুরিয়ে — সাধারণ উৎপাদক গোনা, সীমার নিচে গুণিতক, সর্বনিম্ন যোগফল, এমনকি গসাগু নিজেই সমীকরণের চলক। আমরা গোড়া থেকে শুরু করে প্রতিটি কৌশল আলাদা করে শিখব।

মূল কথা একটাই: সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে ভাঙলে গসাগু আর লসাগু দুটোই মৌলিকের ঘাতের সহজ হিসাব হয়ে যায় — গসাগু নেয় ছোট ঘাত, লসাগু নেয় বড় ঘাত। প্রায় সব কৌশল এই একটা সত্য থেকে বের হয়।

১. সংজ্ঞা — গোড়া থেকে

উৎপাদক (ভাজক): $d$ সংখ্যাটি $n$-এর উৎপাদক, যদি $n$-কে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $0$ হয়। যেমন $12$-এর উৎপাদক $1, 2, 3, 4, 6, 12$। মনে রাখো, $1$ আর সংখ্যাটি নিজেও উৎপাদক।

গুণিতক: $m$ সংখ্যাটি $n$-এর গুণিতক, যদি $m = n \times k$ কোনো পূর্ণসংখ্যা $k$-এর জন্য। $6$-এর গুণিতক $6, 12, 18, 24, \ldots$ — এরা অসীম, তাই "সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণিতক" বলে কিছু নেই, শুধু সীমা দিলে তার নিচে বৃহত্তমটি থাকে।

গসাগু: দুটি (বা বেশি) সংখ্যার সব সাধারণ উৎপাদকের মধ্যে সবচেয়ে বড়টি। লেখা হয় গসাগু$(a, b)$ বা $\gcd(a, b)$।

লসাগু: দুটি (বা বেশি) সংখ্যার সব সাধারণ ধনাত্মক গুণিতকের মধ্যে সবচেয়ে ছোটটি। লেখা হয় লসাগু$(a, b)$ বা $\text{lcm}(a, b)$। কোনো কোনো প্রশ্নে "গ.সা.গু." আর "ল.সা.গু." লেখা থাকে — একই জিনিস।

সহমৌলিক: গসাগু$(a, b) = 1$ হলে $a$ আর $b$ সহমৌলিক — তাদের কোনো সাধারণ মৌলিক উৎপাদক নেই। যেমন $8$ আর $15$। লক্ষ করো, সহমৌলিক হতে সংখ্যা দুটিকে নিজে মৌলিক হতে হয় না।

২. মৌলিক উৎপাদক দিয়ে গসাগু ও লসাগু

প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে (১-এর চেয়ে বড়) একভাবেই মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে লেখা যায়। যেমন

এখন ভাবো: $d$ সংখ্যাটি $12$-এর উৎপাদক হলে $d$-এর ভেতরে $2$ থাকতে পারে বড়জোর দুবার, $3$ বড়জোর একবার, আর অন্য কোনো মৌলিক থাকতে পারে না। $d$ যদি $12$ আর $18$ দুটোকেই ভাগ করে, তাহলে $2$ থাকতে পারে বড়জোর $\min(2, 1) = 1$ বার, $3$ বড়জোর $\min(1, 2) = 1$ বার। সবচেয়ে বড় এমন $d$ হলো $2 \times 3 = 6$।

উল্টো দিকে, $m$ যদি $12$ আর $18$ দুটোরই গুণিতক হয়, তবে $m$-এর ভেতরে $2$ লাগবে অন্তত দুবার ($12$-এর জন্য) আর $3$ অন্তত দুবার ($18$-এর জন্য)। সবচেয়ে ছোট এমন $m$ হলো $2^{2} \times 3^{2} = 36$।

নিয়ম (মনে রাখার মতো করে):

• গসাগু: প্রতিটি সাধারণ মৌলিকের ছোট ঘাত নাও।
• লসাগু: যেকোনো একটিতে থাকা প্রতিটি মৌলিকের বড় ঘাত নাও।

উদাহরণ ১। $84$ আর $90$-এর গসাগু ও লসাগু বের করো।

$84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ আর $90 = 2 \times 3^{2} \times 5$। সাধারণ মৌলিক $2$ ও $3$, ছোট ঘাত নিয়ে গসাগু $= 2 \times 3 = 6$। সব মৌলিকের বড় ঘাত নিয়ে

উৎপাদকের সংখ্যা: ঘাত $+1$ নিয়ম

$n = p^{a} \times q^{b}$ হলে $n$-এর প্রতিটি উৎপাদক দেখতে $p^{i} \times q^{j}$, যেখানে $i$ নেওয়া যায় $0, 1, \ldots, a$ — মোট $a + 1$ ভাবে, আর $j$ নেওয়া যায় $b + 1$ ভাবে। তাই উৎপাদকের সংখ্যা

বেশি মৌলিক থাকলে এভাবেই আরও গুণ করো। $+1$ কেন? কারণ ঘাত $0$ (অর্থাৎ ওই মৌলিকটা না নেওয়া) একটা বৈধ পছন্দ। যেমন $72 = 2^{3} \times 3^{2}$-এর উৎপাদক $(3 + 1)(2 + 1) = 12$টি।

৩. কৌশল: সাধারণ উৎপাদক = গসাগুর উৎপাদক

এই টপিকের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ দুটি সত্য:

• দুটি সংখ্যার প্রতিটি সাধারণ উৎপাদক তাদের গসাগুকে ভাগ করে। আর গসাগুর প্রতিটি উৎপাদক দুটো সংখ্যাকেই ভাগ করে। তাই "সাধারণ উৎপাদকের সেট" আর "গসাগুর উৎপাদকের সেট" হুবহু এক।
• দুটি সংখ্যার প্রতিটি সাধারণ গুণিতক তাদের লসাগুর গুণিতক। এর বাইরে কোনো সাধারণ গুণিতক নেই।

কেন সত্য? মৌলিক ঘাত দিয়ে ভাবো। সাধারণ উৎপাদকে প্রতিটি মৌলিকের ঘাত দুটো সংখ্যার ঘাতের চেয়ে বেশি হতে পারে না, অর্থাৎ ছোটটির চেয়েও বেশি নয় — ঠিক এটাই "গসাগুকে ভাগ করে" কথাটার মানে। সাধারণ গুণিতকে প্রতিটি মৌলিকের ঘাত দুটোর চেয়েই কম নয়, অর্থাৎ বড়টির চেয়েও কম নয় — মানে "লসাগু দিয়ে বিভাজ্য"।

একটি সংখ্যা অন্যটিকে ভাগ করলে: $a$ দিয়ে $b$ বিভাজ্য হলে গসাগু$(a, b) = a$ আর লসাগু$(a, b) = b$। লসাগু নেওয়ার তালিকায় এমন ছোট সংখ্যা থাকলে সেটা বাদ দিতে পারো — লসাগু বদলায় না। যেমন লসাগু$(4, 8, 12) =$ লসাগু$(8, 12) = 24$, কারণ $4$ দিয়ে $8$ বিভাজ্য।

উদাহরণ ২। $360$ আর $84$-এর সাধারণ উৎপাদক কয়টি?

$360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$, $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$। গসাগু $= 2^{2} \times 3 = 12$। তাই সাধারণ উৎপাদক = $12$-এর উৎপাদক, সংখ্যায় $(2 + 1)(1 + 1) = 6$টি: $1, 2, 3, 4, 6, 12$।

উদাহরণ ৩। $1000$-এর চেয়ে ছোট কোন সংখ্যাটি $4$, $6$ ও $10$ তিনটিরই বৃহত্তম সাধারণ গুণিতক?

লসাগু$(4, 6, 10) = 2^{2} \times 3 \times 5 = 60$। সব সাধারণ গুণিতক $60$-এর গুণিতক। $1000 = 60 \times 16 + 40$, তাই ভাগফল $16$, উত্তর $60 \times 16 = 960$।

গল্পের মোড়কে লসাগু

"$4$, $12$, $15$ বা $24$ জনের মধ্যে সমান ভাগ করা যায়", "প্রতি $6$ মিনিটে আর প্রতি $14$ মিনিটে — একসাথে কখন?", "সারিতে $5$ বা $7$ করে সাজালে কিছু বাকি থাকে না" — এগুলো সবই সাধারণ গুণিতকের কথা। সর্বনিম্নটি লসাগু, পরেরগুলো লসাগুর গুণিতক।

উদাহরণ ৪। একটি ঘণ্টা প্রতি $4$ মিনিটে আর আরেকটি প্রতি $6$ মিনিটে বাজে (শুরু $0$ মিনিটে দুটোই একসাথে)। শুরুর পরে পঞ্চমবার একসাথে বাজবে কত মিনিটে? লসাগু $= 12$, তাই $n$-তম বার একসাথে $= 12n$ মিনিট; পঞ্চমবার $60$ মিনিটে।

বাকি থাকার ধাঁধা। "$2, 3, 4, 5, 6$ দিয়ে ভাগ করলে প্রতিবার $1$ বাকি থাকে, $1$-এর চেয়ে বড় এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা" — সংখ্যা থেকে $1$ বাদ দিলে সেটা সবার সাধারণ গুণিতক। লসাগু $60$, তাই উত্তর $61$।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১ (সমাধান পর্ব ১) সমস্যা ২ (সমাধান পর্ব ১) সমস্যা ৩ (সমাধান পর্ব ১) সমস্যা ৯ (সমাধান পর্ব ২) সমস্যা ৫ (সমাধান পর্ব ১)

৪. কৌশল: গসাগু × লসাগু = গুণফল

দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $a$, $b$-এর জন্য

কেন সত্য? কোনো একটি মৌলিক $p$ ধরো; $a$-তে তার ঘাত $s$, $b$-তে $t$। গসাগুতে যায় ছোটটি, লসাগুতে বড়টি। দুটি সংখ্যার ছোটটি আর বড়টি যোগ করলে সবসময় দুটির যোগফলই পাওয়া যায়: $\min(s, t) + \max(s, t) = s + t$। তাই বাঁ দিকে $p$-এর ঘাত $s + t$, ডান দিকেও $s + t$ — প্রতিটি মৌলিকের জন্য। দুই দিক সমান।

সাবধান: এই সূত্র শুধু দুটি সংখ্যার জন্য। তিনটি সংখ্যায় গসাগু × লসাগু সাধারণত গুণফলের সমান নয় (যেমন $2, 2, 2$: গসাগু × লসাগু $= 4$, গুণফল $8$)।

উদাহরণ ৫। দুটি সংখ্যার গসাগু $6$, লসাগু $180$, একটি সংখ্যা $18$। অন্যটি কত?

যাচাই: গসাগু$(18, 60) = 6$, লসাগু $= 180$ ✓। লসাগুকে গসাগু দিয়ে ভাগ করলে ($180 \div 6 = 30$) ভুল উত্তর আসে — সূত্রটা সবসময় পুরোটা লিখে অজানাকে আলাদা করো।

বিশেষ ক্ষেত্র: গসাগু $1$ হলে লসাগু $=$ গুণফল। তাই "লসাগু মানেই গুণফল" ভাবা ভুল — এটা শুধু সহমৌলিক সংখ্যার বেলায় খাটে। লসাগু$(6, 14) = 42$, অথচ $6 \times 14 = 84$।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৪ (সমাধান পর্ব ১) সমস্যা ৩ (সমাধান পর্ব ১) সমস্যা ৬ (সমাধান পর্ব ১)

৫. কৌশল: $a = gx$, $b = gy$ — সহমৌলিক জোড়ায় নামিয়ে আনা

গসাগু$(a, b) = g$ হলে দুটো সংখ্যা থেকেই $g$ বের করে লেখো:

এখানে $x$ আর $y$ সহমৌলিক — না হলে তাদের সাধারণ উৎপাদক $g$-এর সঙ্গে যোগ হয়ে গসাগু আরও বড় হতো। তখন

তাই "গসাগু আর লসাগু দেওয়া" প্রশ্নে কাজ দাঁড়ায়: $x y = \text{lcm} \div g$, এমন সহমৌলিক জোড়া $(x, y)$ খোঁজো।

সহমৌলিক জোড়া কয়টি? সহমৌলিক মানে কোনো মৌলিক দুজনে ভাগাভাগি করে না। তাই $x y = N$ হলে $N$-এর প্রতিটি মৌলিকের পুরো ঘাত হয় $x$-এ যায়, নয় $y$-এ। $N$-এ $k$টি ভিন্ন মৌলিক থাকলে ক্রমবিহীন জোড়া $2^{k-1}$টি।

উদাহরণ ৬। দুটি সংখ্যার গসাগু $4$, লসাগু $120$। তাদের যোগফল সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ কত?

$x y = 120 \div 4 = 30 = 2 \times 3 \times 5$ — তিনটি মৌলিক, তাই $2^{2} = 4$টি জোড়া:

$(x, y)$	$(1, 30)$	$(2, 15)$	$(3, 10)$	$(5, 6)$
$x + y$	$31$	$17$	$13$	$11$
সংখ্যা দুটি	$4, 120$	$8, 60$	$12, 40$	$20, 24$

সর্বনিম্ন যোগফল $4 \times 11 = 44$, সর্বোচ্চ $4 \times 31 = 124$। $(3, 10)$ আর $(10, 3)$ একই জোড়া, তাই আলাদা গুনিনি।

গুণফল স্থির থাকলে যোগফল

উপরের টেবিলে একটা নকশা আছে: $x$ আর $y$ যত কাছাকাছি, যোগফল তত ছোট; যত দূরে ($1$ আর পুরোটা), যোগফল তত বড়। কারণটা ছবিতে সহজ: একই ক্ষেত্রফলের আয়তক্ষেত্রের মধ্যে বর্গের পরিসীমা সবচেয়ে ছোট। তাই সর্বনিম্ন খুঁজতে $\sqrt{N}$-এর আশেপাশে উৎপাদক খোঁজো, তারপর সহমৌলিক শর্ত মিলিয়ে নাও। শেষে প্রশ্নের রাশিতে ফেরো — যোগফল নাকি গড়, $x + y$ নাকি $g(x + y)$।

লসাগু কখন একটি সংখ্যার সমান?

লসাগু$(a, b) = b$ হয় ঠিক তখনই, যখন $a$ দিয়ে $b$ বিভাজ্য। $g x y = g y$ মানে $x = 1$। তাই "লসাগু কোনো সংখ্যার সমান নয়" শর্তটা অনুবাদ করো: কেউ কাউকে ভাগ করে না, অর্থাৎ $x \ne 1$ এবং $y \ne 1$।

উদাহরণ ৭। $x \times y = 144$, আর লসাগু$(x, y)$ সংখ্যা দুটির কোনোটির সমান নয়। $x + y$-এর সর্বোচ্চ মান কত?

$144 = 2^{4} \times 3^{2}$-এর উৎপাদক-জোড়া লেখো আর বিভাজ্যতা দেখো:

জোড়া	$(1, 144)$	$(2, 72)$	$(3, 48)$	$(4, 36)$	$(6, 24)$	$(8, 18)$	$(9, 16)$	$(12, 12)$
একটি অন্যটিকে ভাগ করে?	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	না	না	হ্যাঁ

বৈধ শুধু $(8, 18)$ আর $(9, 16)$; সর্বোচ্চ যোগফল $26$। দূরের জোড়াগুলো ($1$ ও $144$) সবার আগে শর্তে বাদ পড়ে — তাই শর্ত আগে, সর্বোচ্চ পরে।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৬ (সমাধান পর্ব ১) সমস্যা ৮ (সমাধান পর্ব ১) সমস্যা ১১ (সমাধান পর্ব ২) সমস্যা ৪ (সমাধান পর্ব ১)

৬. কৌশল: ইউক্লিডের পদ্ধতি — গুণিতক বাদ দিলে গসাগু বদলায় না

নিয়ম: যেকোনো পূর্ণসংখ্যা $k$-এর জন্য

কেন সত্য? $d$ যদি $A$ আর $B$ দুটোকেই ভাগ করে, তবে $k B$-কেও ভাগ করে, তাই $A - k B$-কেও ভাগ করে। উল্টো দিকে $d$ যদি $A - k B$ আর $B$-কে ভাগ করে, তবে যোগ করে $A$-কেও ভাগ করে। দুই জোড়ার সাধারণ উৎপাদকের সেট হুবহু এক, তাই সবচেয়ে বড়টিও এক।

উদাহরণ ৮। গসাগু$(391, 667)$ বের করো — মৌলিক উৎপাদক না খুঁজেই।

প্রতি ধাপে বড়টি থেকে ছোটটির যত গুণ পারা যায় বাদ দিয়েছি।

দুটি দরকারি ফল

• পরপর দুটি সংখ্যা সবসময় সহমৌলিক: $\gcd(n + 1, n) = \gcd(1, n) = 1$।
• যোগফল আর পার্থক্য: $a$ ও $b$-এর যেকোনো সাধারণ উৎপাদক $a + b$ আর $a - b$-কেও ভাগ করে। তাই $a - b = 1$ হলে গসাগু নিশ্চিত $1$; $a - b = 2$ হলে গসাগু $1$ বা $2$ (দুটোই জোড় কি না দেখো)।

জোড়-বিজোড় (parity): $a + b$ আর $a - b$-এর পার্থক্য $2b$, যা জোড়। তাই $a + b$ আর $a - b$ সবসময় একই রকম — দুটোই জোড় বা দুটোই বিজোড়।

উদাহরণ ৯। $a + b = 100$, $a \gt b$, গসাগু$(a, b) = 1$। $a - b$-এর সর্বনিম্ন মান কত?

$100$ জোড়, তাই $a - b$-ও জোড়; $1$ সম্ভব নয়। $a - b = 2$ নিলে $a = 51$, $b = 49$; এরা সহমৌলিক ✓। উত্তর $2$।

এবার $a + b = 102$ নিলে কী হয়? $a - b = 2$ দিলে $52$ ও $50$ — দুটোই জোড়, গসাগু $2$ ✗। $a - b = 4$ দিলে $53$ ও $49$, সহমৌলিক ✓। উত্তর $4$। ছোট থেকে প্রার্থী পরীক্ষা করো, প্রথম যেটা সব শর্ত মানে সেটাই সর্বনিম্ন।

বহুপদীর গসাগু

গসাগুর ভেতরে $n$-এর বহুপদী আর একটা রৈখিক রাশি ($n + c$) থাকলে বড় রাশিটাকে $n + c$ দিয়ে ভাগ করো — ভাগশেষ একটা ধ্রুব সংখ্যা। ভাগশেষ দ্রুত পেতে বড় রাশিতে $n = -c$ বসাও।

উদাহরণ ১০। $n \le 60$ হলে কয়টি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$-এর জন্য গসাগু$(n^{2} + 5n + 9, n + 3) \gt 1$?

$n = -3$ বসালে $9 - 15 + 9 = 3$। অর্থাৎ

তাই গসাগু$(n^{2} + 5n + 9, n + 3) =$ গসাগু$(3, n + 3)$। এটা $1$-এর বড় হয় ঠিক যখন $3$ দিয়ে $n + 3$ বিভাজ্য, মানে $3$ দিয়ে $n$ বিভাজ্য। $1$ থেকে $60$-এ এমন $n$ আছে $20$টি।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১৪ (সমাধান পর্ব ২) সমস্যা ৭ (সমাধান পর্ব ১)

৭. কৌশল: মৌলিক সংখ্যার সঙ্গে গসাগু, আর গুণিতক গোনা

$p$ মৌলিক হলে তার উৎপাদক মাত্র দুটি: $1$ আর $p$। তাই

• $\gcd(k, p) = p$, যদি $p$ দিয়ে $k$ বিভাজ্য;
• $\gcd(k, p) = 1$, বাকি সব ক্ষেত্রে।

$1$ থেকে $N$-এর মধ্যে $m$-এর গুণিতক কয়টি? উত্তর $\left\lfloor \dfrac{N}{m} \right\rfloor$ — ভাগফলের নিচের পূর্ণসংখ্যা। উপরে বৃত্তায়ন করলে এমন একটা গুণিতক গুনে ফেলবে, যা $N$ ছাড়িয়ে গেছে।

উদাহরণ ১১। $k = 1, 2, \ldots, 100$-এর জন্য $\gcd(k, 7)$-এর যোগফল কত?

$100 = 7 \times 14 + 2$, তাই $7$-এর গুণিতক $14$টি। স্তরে স্তরে যোগ: প্রথমে সবাইকে $1$ দাও — মোট $100$। তারপর $14$টি গুণিতকের প্রতিটিতে $7 - 1 = 6$ বাড়তি:

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১০ (সমাধান পর্ব ২) সমস্যা ৯ (সমাধান পর্ব ২) সমস্যা ২ (সমাধান পর্ব ১)

৮. কৌশল: লসাগু$(a, b, n) = L$ — কয়টি $n$?

লসাগু প্রতিটি মৌলিকের বড় ঘাত নেয়। তাই $L$-এর প্রতিটি মৌলিক-ঘাত আলাদা করে দেখো:

• দেওয়া সংখ্যাগুলোর কেউ যদি ঘাতটা পুরো দেয় → $n$-এর ঘাত $0$ থেকে ওই ঘাত পর্যন্ত যেকোনো কিছু (শুধু ঊর্ধ্বসীমা)।
• কেউ যদি পুরো ঘাত না দেয় → $n$-কেই সেই ঘাত ঠিক ঠিক দিতে হবে (কম দিলে লসাগু ছোট হবে, বেশি দিলে বড়)।
• $L$-এ নেই এমন কোনো মৌলিক $n$-এ থাকতে পারবে না।

যে অংশ $n$-কে দিতেই হবে, সেটা $n$-এর বাধ্যতামূলক অংশ। $n$ = বাধ্যতামূলক অংশ × (ঊর্ধ্বসীমার ভেতরে বাকি কিছু)। মোট সম্ভাবনা = প্রতিটি মৌলিকের পছন্দের সংখ্যার গুণফল।

উদাহরণ ১২। লসাগু$(12, 18, n) = 180$ এবং $n \lt 100$ হলে $n$-এর সম্ভাব্য মান কয়টি?

$180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$, $12 = 2^{2} \times 3$, $18 = 2 \times 3^{2}$।

মৌলিক	লসাগুতে ঘাত	$12$ বা $18$ থেকে আসে?	$n$-এ ঘাত
$2$	$2$	হ্যাঁ ($12$)	$0, 1, 2$
$3$	$2$	হ্যাঁ ($18$)	$0, 1, 2$
$5$	$1$	না	ঠিক $1$

তাই $n = 5 \times 2^{i} \times 3^{j}$ — মোট $3 \times 3 = 9$টি: $5, 10, 15, 20, 30, 45, 60, 90, 180$। $n \lt 100$ সীমায় $8$টি।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১২ (সমাধান পর্ব ২) সমস্যা ১৩ (সমাধান পর্ব ২)

৯. কৌশল: গসাগু নিজেই যখন চলক

সমীকরণে $d =$ গসাগু$(a, b)$ থাকলে সাথে সাথে লেখো $a = d x$, $b = d y$ (সহমৌলিক $x$, $y$)। তখন

• $a + b = d(x + y)$ — যোগফল $d$ দিয়ে বিভাজ্য;
• $a \times b = d^{2} x y$ — গুণফল $d^{2}$ দিয়ে বিভাজ্য।

এই দুটো তথ্য দিয়ে প্রথমে $d$-এর তালিকা ছোট করো, তারপর কড়া শর্ত দিয়ে ছাঁকো। শেষে একটা উদাহরণ (প্রায়ই $x = 1$) বানিয়ে দেখাও যে মানটা সত্যিই সম্ভব।

উদাহরণ ১৩। $ab = 72 + 12d$, যেখানে $d =$ গসাগু$(a, b)$। $10$-এর নিচে কয়টি $d$ সম্ভব?

ধাপ ১ — প্রথম ছাঁকনি। $d$ দিয়ে $ab$ আর $12d$ দুটোই বিভাজ্য, তাই $72$-ও। $10$-এর নিচে $72$-এর উৎপাদক: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9$।

ধাপ ২ — কড়া ছাঁকনি। $d^{2}$ দিয়ে $72 + 12d$ বিভাজ্য হতে হবে:

$d$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$8$	$9$
$72 + 12d$	$84$	$96$	$108$	$120$	$144$	$168$	$180$
$d^{2}$ দিয়ে বিভাজ্য?	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	না	হ্যাঁ	না	না

ধাপ ৩ — সম্ভব কি না দেখাও। $x = 1$ নিলে $y = \dfrac{72 + 12d}{d^{2}}$, আর $1$ সবার সঙ্গে সহমৌলিক। যেমন $d = 6$: $a = 6$, $b = 24$, গসাগু $6$, গুণফল $144$ ✓। তাই উত্তর $4$টি ($1, 2, 3, 6$)।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১৫ (সমাধান পর্ব ২) সমস্যা ১১ (সমাধান পর্ব ২)

২০২৭-এর জন্য প্রস্তুতি

এই টপিক প্রায় প্রতি বছর এসেছে: ২০২৩ ও ২০২৪-এ গসাগু-লসাগুর গুণফল সূত্র আর সহমৌলিক জোড়া, ২০২৬-এ "লসাগু$(a, b, n) = L$, কয়টি $n$" দুবার এবং গসাগু-চলকের সমীকরণ। নতুন প্রশ্নে এই সংকেতগুলো খোঁজো:

প্রশ্নে যা দেখবে	যা করবে
"সাধারণ উৎপাদক কয়টি"	গসাগু বের করো, তার উৎপাদক গোনো (ঘাত $+1$)
"একসাথে", "আবার একই সময়ে", "সমান ভাগ করা যায়", "সারিতে সাজানো যায়"	লসাগু; $n$-তম বার = $n \times$ লসাগু
"সীমার নিচে বৃহত্তম / উপরে ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতক"	সীমা ÷ লসাগু, ভাগফল (বা ভাগফল $+1$) × লসাগু
"প্রতিবার $r$টি বাকি থাকে"	সংখ্যা $=$ লসাগুর গুণিতক $+ r$
"সবচেয়ে বড় দল/থলি, যাতে সব জিনিস সমান ভাগ হয়"	গসাগু (লসাগু নয়)
দুটি সংখ্যা, গসাগু, লসাগু — তিনটি জানা	গসাগু × লসাগু = গুণফল
গসাগু ও লসাগু দেওয়া, যোগফল/গড় সর্বনিম্ন বা সর্বোচ্চ	$a = gx$, $b = gy$, সহমৌলিক জোড়ার টেবিল
"লসাগু (বা গসাগু) কোনো সংখ্যার সমান নয়"	কেউ কাউকে ভাগ করে না
যোগফল দেওয়া, গসাগু $1$, পার্থক্য সর্বনিম্ন	জোড়-বিজোড় + পার্থক্য $1$ বা $2$ পরীক্ষা
গসাগুর ভেতরে বহুপদী আর $n + c$	$n = -c$ বসিয়ে ভাগশেষ, গসাগু ধ্রুবে নামে
$\gcd(k, p)$-এর যোগফল, $p$ মৌলিক	মান শুধু $1$ বা $p$; গুণিতক গোনো
লসাগু$(a, b, n) = L$, সীমার মধ্যে কয়টি $n$	মৌলিক-ঘাতের টেবিল, বাধ্যতামূলক অংশ
সমীকরণে $d =$ গসাগু	$a = dx$, $b = dy$; $d^{2}$ দিয়ে গুণফল বিভাজ্য

সাধারণ ফাঁদ

• লসাগুর বদলে গুণফল নেওয়া। $6$ আর $14$-এর লসাগু $84$ নয়, $42$। গুণফল লসাগু হয় শুধু সহমৌলিক হলে।
• একটি শর্ত বাদ পড়া। চারটি সংখ্যার লসাগু চাইলে চারটিই মিলিয়ে দেখো; বাদ দেওয়া যায় শুধু সেই সংখ্যা, যা তালিকার অন্য কোনো সংখ্যাকে ভাগ করে।
• সহমৌলিক ভাগে ঘাত ভেঙে ফেলা। গসাগু $1$ হলে $2^{3}$-এর পুরোটা এক দিকে যায়; $2$ এক দিকে, $4$ অন্য দিকে দিলে গসাগু $2$।
• মধ্যবর্তী মানে থেমে যাওয়া। লসাগু বের করেই থামা, যখন চাওয়া হয়েছে সীমার নিচে বৃহত্তম গুণিতক; যোগফল লিখে থামা, যখন চাওয়া হয়েছে গড়; পার্থক্য লিখে থামা, যখন চাওয়া হয়েছে তার বর্গ।
• সীমা ভুলে যাওয়া বা উল্টো গোনা। সব সম্ভাব্য $n$ গুনে সীমা ($n \le 50$) দিয়ে না ছাঁকা; কিংবা "গসাগু $\gt 1$" চাইলে "গসাগু $= 1$"-এর সংখ্যা লিখে ফেলা।

এই টপিকের সমস্যাগুলো (সহজ → কঠিন)

• সমস্যা ১ — ৬২৫ ও ২৫০০-এর সাধারণ উৎপাদক · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (রংপুর, চট্টগ্রাম) — সমস্যা ৪ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ২ — ২০২৩-এর নিচে ৩, ৯ ও ১১-এর বৃহত্তম সাধারণ গুণিতক · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (কুমিল্লা) — সমস্যা ৬ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৩ — ১৭ ও ৫১-এর লসাগু · BdMO ২০২৩ নির্বাচনী — সমস্যা ১ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৪ — লসাগু ১২০০ ও গসাগু ২০ থেকে অজানা সংখ্যা · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (কুমিল্লা, খুলনা) — সমস্যা ২ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৫ — ফাইজার বই — সমান ভাগের সর্বনিম্ন সংখ্যা · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (কুষ্টিয়া, রংপুর) — সমস্যা ২ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৬ — সহমৌলিক জোড়া, লসাগু ৭৮৩ ও বড়টি মৌলিক · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (ময়মনসিংহ) — সমস্যা ১ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৭ — যোগফল ২০২৩, সহমৌলিক জোড়ার ক্ষুদ্রতম পার্থক্য · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (বরিশাল, সিলেট) — সমস্যা ২ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৮ — গসাগু ২ ও লসাগু ৪৮০ হলে সর্বনিম্ন গড় রান · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (বরিশাল, সিলেট) — সমস্যা ৩ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৯ — ড্রাগন, দুই যোদ্ধা ও একসাথে গুলি · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (বরিশাল) — সমস্যা ৪ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১০ — শেহেরজাদের গল্প, ১০১-এর সঙ্গে গসাগুর যোগফল · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (কুষ্টিয়া, রংপুর) — সমস্যা ৭ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১১ — গুণফল ১৯৬, ল.সা.গু. কোনোটির সমান নয় · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (নারায়ণগঞ্জ) — সমস্যা ২ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১২ — ১২, ২৭ ও n-এর ল.সা.গু. ৫৪০ · BdMO ২০২৬ আঞ্চলিক (ময়মনসিংহ ও বরিশাল) — সমস্যা ১ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১৩ — ৮, ১৫ ও n-এর ল.সা.গু. ৩৬০ · BdMO ২০২৬ আঞ্চলিক (দিনাজপুর) — সমস্যা ৩ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১৪ — n² + ৩n + ৫ ও n + ২-এর গ.সা.গু. কখন ১-এর বড় · BdMO ২০২৬ আঞ্চলিক (ঢাকা) — সমস্যা ৫ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১৫ — ab = ১৬০ + ৯০d, d = গ.সা.গু. · BdMO ২০২৬ আঞ্চলিক (দিনাজপুর) — সমস্যা ৪ · সমাধান পর্ব ২