বিভাজ্যতা ও অঙ্কের নিয়ম — লেকচার শিট

এই লেকচারে কী শিখবে

"এই সংখ্যাটি কি $11$ দিয়ে বিভাজ্য?", "অজানা অঙ্ক $a$ আর $b$ কত?" — BdMO জুনিয়রে প্রায় প্রতি বছর এমন প্রশ্ন আসে, আর ভেতরে একটাই ভাবনা কাজ করে:

একটা সংখ্যা আসলে তার অঙ্কগুলোর স্থানীয় মানের যোগফল। $\overline{abc} = 100a + 10b + c$ — এই এক লাইন থেকেই বিভাজ্যতার সব অঙ্ক-নিয়ম, অঙ্ক উল্টানোর কৌশল আর অঙ্কের সমীকরণ বের হয়।

১. বিভাজ্যতা — গোড়া থেকে

সংজ্ঞা। $a$ দিয়ে $b$ নিঃশেষে বিভাজ্য, যদি $b = a \times k$ হয় কোনো পূর্ণসংখ্যা $k$-এর জন্য — অর্থাৎ $b$-কে $a$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $0$। তখন বলি $a$ হলো $b$-এর উৎপাদক (ভাজক), আর $b$ হলো $a$-এর গুণিতক।

ভাগশেষ। যেকোনো $n$-কে $d$ দিয়ে ভাগ করলে লেখা যায় $n = dq + r$, যেখানে $0 \le r \lt d$। এই $r$-ই ভাগশেষ। বিভাজ্যতা মানে শুধু "$r = 0$ কি না"; কিন্তু অনেক প্রশ্নে পুরো ভাগশেষটাই লাগে।

তিনটি সহজ সত্য, যেগুলো পুরো টপিক জুড়ে কাজে লাগবে:

• যোগ-বিয়োগ: $d$ দিয়ে $a$ আর $b$ দুটোই বিভাজ্য হলে $a + b$ আর $a - b$-ও বিভাজ্য। কারণ $a = dx$, $b = dy$ হলে $a + b = d(x + y)$।
• গুণ: $d$ দিয়ে $a$ বিভাজ্য হলে $a$-এর যেকোনো গুণিতকও বিভাজ্য: $a \times m = d(xm)$।
• সংক্রামক (transitive): $3$ দিয়ে $9$ বিভাজ্য, আর $9$ দিয়ে $n$ বিভাজ্য হলে $3$ দিয়ে $n$ বিভাজ্য। কারণ $n = 9k = 3(3k)$।

উল্টো রূপটাও দরকারি: $a + b$ আর $a$ দুটোই $d$ দিয়ে বিভাজ্য হলে $b$-ও বিভাজ্য। তাই বড় সংখ্যার যে অংশ নিশ্চিত বিভাজ্য, সেটা বাদ দিয়ে বাকিটুকু দেখলেই চলে — সব অঙ্ক-নিয়মের রহস্য এটাই।

ফাঁকা সেটের ফাঁদ

সংক্রামক নিয়মের একটা মজার ফল: "$9$ দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু $3$ দিয়ে নয়" — এমন সংখ্যা নেই, কারণ $9$ দিয়ে বিভাজ্য হলেই $3$ দিয়ে বিভাজ্য। সেটটি ফাঁকা, যোগফল ও গণনা $0$।

উদাহরণ ১। $1$ থেকে $100$ পর্যন্ত যেসব সংখ্যা $6$ দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু $3$ দিয়ে নয়, তাদের যোগফল কত?

$6 = 3 \times 2$, তাই $6$-এর প্রতিটি গুণিতক $3$-এরও গুণিতক। শর্তটা অসম্ভব, যোগফল $0$।

উল্টো দিক ফাঁকা নয়: "$3$ দিয়ে কিন্তু $6$ দিয়ে নয়" মানে $3$-এর বিজোড় গুণিতক। তাই প্রশ্নে "$a$ দিয়ে কিন্তু $b$ দিয়ে নয়" দেখলে প্রথম কাজ: $b$ কি $a$-এর উৎপাদক? হলে সেট ফাঁকা।

এমন প্রশ্নে প্রায়ই একটা বিশাল হিসাব টোপ থাকে। রাশিটাকে আগে উৎপাদকে ভাঙো: $p^{2} - pq = p(p - q)$ — $p = 0$ হলে $q$ হিসাবই লাগে না।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১০ (সমাধান পর্ব ২) সমস্যা ১১ (সমাধান পর্ব ২)

২. স্থানীয় মান: সংখ্যাকে অঙ্কে খুলে লেখা

দুই অঙ্কের সংখ্যা $\overline{xy}$ (দশকে $x$, এককে $y$) আসলে

এখানে $1 \le x \le 9$ (প্রথম অঙ্ক $0$ হতে পারে না) আর $0 \le y \le 9$। তিন অঙ্কের জন্য $\overline{abc} = 100a + 10b + c$। অঙ্কের উপর কোনো শর্ত দেওয়া থাকলে এভাবে লিখলেই শর্তটা একটা সাধারণ সমীকরণ হয়ে যায়।

অঙ্ক উল্টানো

$\overline{xy}$-এর অঙ্ক উল্টালে পাই $\overline{yx} = 10y + x$। এখন যোগ আর বিয়োগ করো:

অর্থাৎ অঙ্ক উল্টে যোগ করলে সবসময় $11$-এর গুণিতক, বিয়োগ করলে সবসময় $9$-এর গুণিতক। তিন অঙ্কে একই হিসাবে $\overline{abc} - \overline{cba} = 99(a - c)$ — মাঝের অঙ্ক পুরো কেটে যায়।

উদাহরণ ২। একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা থেকে তার অঙ্ক উল্টে লেখা সংখ্যা বিয়োগ করলে $36$ হয়। এমন কতগুলো সংখ্যা?

$9(x - y) = 36$, তাই $x - y = 4$। এখন সীমা মেনে গোনো: $y = 0$ হলে $x = 4$, $y = 1$ হলে $x = 5$, …, $y = 5$ হলে $x = 9$। $y = 6$ হলে $x = 10$ — অঙ্ক নয়। তাই $40, 51, 62, 73, 84, 95$ — মোট ৬টি। ($40$-এর উল্টো $04 = 4$, আর $40 - 4 = 36$ — প্রশ্নে "কোনো অঙ্ক $0$ নয়" বললে এটা বাদ যেত।)

যোগফল $11$-এর গুণিতক না হলে সমাধানই নেই — আগে সেটা দেখো। আর $55$-এর মতো উল্টালে একই সংখ্যাও গোনো, যদি প্রশ্ন নিষেধ না করে।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৮ (সমাধান পর্ব ২)

৩. শেষ অঙ্কের নিয়ম: $2, 5, 10, 4, 25, 8$

যেকোনো সংখ্যা $N$-কে লেখা যায় $N = 10M + u$, যেখানে $u$ শেষ অঙ্ক। $10 = 2 \times 5$, তাই $10M$ সবসময় $2$, $5$ আর $10$ দিয়ে বিভাজ্য। বাকি থাকে শুধু $u$। তাই:

• $2$ দিয়ে বিভাজ্য ⇔ শেষ অঙ্ক জোড়।
• $5$ দিয়ে বিভাজ্য ⇔ শেষ অঙ্ক $0$ বা $5$।
• $10$ দিয়ে বিভাজ্য ⇔ শেষ অঙ্ক $0$।

একই যুক্তি আরও এক ধাপ: $100 = 4 \times 25$, তাই শেষ দুই অঙ্ক বাদে বাকি অংশ ($100$-এর গুণিতক) সবসময় $4$ আর $25$ দিয়ে বিভাজ্য। আর $1000 = 8 \times 125$, তাই $8$-এর জন্য শেষ তিন অঙ্ক।

ভাজক	কোন অংশ দেখবে	কারণ
$2, 5, 10$	শেষ অঙ্ক	$10 = 2 \times 5$
$4, 25$	শেষ দুই অঙ্ক	$100 = 4 \times 25$
$8, 125$	শেষ তিন অঙ্ক	$1000 = 8 \times 125$

শুধু বিভাজ্যতা নয় — ভাগশেষও একই। $N$-কে $8$ দিয়ে ভাগ করলে যে ভাগশেষ, শেষ তিন অঙ্কের সংখ্যাটিকে $8$ দিয়ে ভাগ করলেও সেই ভাগশেষ।

উদাহরণ ৩। $123456789$-কে $8$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

শেষ তিন অঙ্ক $789 = 8 \times 98 + 5$। তাই ভাগশেষ $5$। পুরো নয় অঙ্কের ভাগ করার দরকারই পড়ল না।

বিশাল সংখ্যা, ছোট ভাজক দেখলে পুরো সংখ্যা লাগে না — পরপর লিখে বানানো সংখ্যায় শেষ অঙ্কগুলো আসে একদম শেষ সংখ্যাটি থেকে। গল্পের মোড়ক (যন্ত্র, কার্ড) সরিয়ে আগে দেখো আসলে কী চাওয়া হচ্ছে।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ২ (সমাধান পর্ব ১)

৪. অঙ্কের যোগফলের নিয়ম: $3$ ও $9$

$10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, $1000 = 999 + 1$ — দশের প্রতিটি ঘাত $9$-এর একটা গুণিতকের চেয়ে ঠিক $1$ বেশি। তাই

প্রথম বন্ধনী সবসময় $9$ দিয়ে (তাই $3$ দিয়েও) বিভাজ্য। বাকি থাকে শুধু অঙ্কের যোগফল। ফলাফল:

একটা সংখ্যা আর তার অঙ্কের যোগফল — দুটোকে $9$ দিয়ে ভাগ করলে একই ভাগশেষ থাকে। $3$ দিয়ে ভাগ করলেও তাই।

এটা শুধু "বিভাজ্য কি না" নয়, পুরো ভাগশেষের কথা বলছে — আর এখান থেকেই তিনটি আলাদা কৌশল বের হয়।

(ক) সর্বনিম্ন কত যোগ বা বিয়োগ করলে বিভাজ্য

ভাজক $d$, ভাগশেষ $r$ হলে: সর্বনিম্ন বিয়োগ $r$, আর সর্বনিম্ন যোগ $d - r$ (যদি $r \ne 0$; $r = 0$ হলে কিছুই লাগে না)।

(খ) পরপর লেখা সংখ্যার অঙ্কযোগফল

$1$ থেকে $n$ পর্যন্ত পরপর লিখে যে বিশাল সংখ্যা হয়, তার অঙ্কযোগফল হিসাব করা ঝামেলা। কিন্তু প্রতিটি ছোট সংখ্যা আর তার অঙ্কযোগফলের $9$-ভাগশেষ একই, তাই সবগুলো মিলিয়ে বিশাল সংখ্যাটির $9$-ভাগশেষ $= 1 + 2 + \cdots + n$-এর $9$-ভাগশেষ। আর

(কারণ: প্রথম আর শেষ পদ জোড়া বাঁধো, $1 + n$, $2 + (n - 1)$, … — প্রতিটি জোড়ার যোগফল $n + 1$, আর জোড়া আছে $\dfrac{n}{2}$টি।)

উদাহরণ ৪। $1$ থেকে $20$ পরপর লিখে পাওয়া সংখ্যা $123456789101112 \cdots 1920$। একে $9$ দিয়ে বিভাজ্য করতে সর্বনিম্ন কত যোগ করতে হবে?

$1 + 2 + \cdots + 20 = 210$, আর $210 = 9 \times 23 + 3$, তাই ভাগশেষ $3$। যোগ করতে হবে $9 - 3 = 6$।

(গ) অঙ্কযোগফল দিয়ে প্রার্থী ছাঁকা

প্রশ্নে যদি অঙ্কের যোগফল আর কোনো সংখ্যার গুণিতক একসাথে থাকে, তাহলে অঙ্কযোগফল থেকে সংখ্যাটির $9$-ভাগশেষ জানা যায়, আর সেটা গুণকের উপর শর্ত দেয়।

উদাহরণ ৫। $11$-এর গুণিতক এবং অঙ্কগুলোর যোগফল $11$ — এমন ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা কত?

সংখ্যাটি $11k$। অঙ্কযোগফল $11 = 9 + 2$, তাই সংখ্যাটির $9$-ভাগশেষ $2$। আবার $11k = 9k + 2k$, তাই $11k$-এর ভাগশেষ $= 2k$-এর ভাগশেষ। দরকার $2k$-এর ভাগশেষ $2$, অর্থাৎ $k$-এর ভাগশেষ $1$: $k = 1, 10, 19, \ldots$।

এখন ছোট থেকে পরীক্ষা: $11$ (অঙ্কযোগফল $2$), $110$ (যোগফল $2$), $209$ (যোগফল $2 + 0 + 9 = 11$) ✓। উত্তর $209$।

কৌশল: ভাজককে $9$-এর গুণিতকের কাছাকাছি লেখো — $11 = 9 + 2$, $17 = 18 - 1$ — তাহলে ভাগশেষের হিসাব মুখে মুখে হয়।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৩ (সমাধান পর্ব ১) সমস্যা ১৩ (সমাধান পর্ব ৩) সমস্যা ২ (সমাধান পর্ব ১)

সমস্যা ৩ (সমাধান পর্ব ১)-এ বাংলা প্রশ্নের $12345678910$ → উত্তর $2$; ইংরেজি প্রশ্নের $1234567891011$ আগেই বিভাজ্য → $0$। MCQ-তে $12345678910$ লেখা থাকে।

৫. $11$-এর নিয়ম: একান্তর যোগ-বিয়োগ

এবার দশের ঘাতগুলোকে $11$-এর গুণিতকের পাশে রাখো:

($99$, $1001 = 7 \times 11 \times 13$, $9999$ — সবই $11$-এর গুণিতক।) তাই $11$ দিয়ে ভাগ করার সময় এককের অঙ্ক $+$, দশকের অঙ্ক $-$, শতকের অঙ্ক $+$, … এভাবে চিহ্ন বদলায়:

ডান দিক থেকে অঙ্কগুলো একবার যোগ, একবার বিয়োগ করো। ফল $11$ দিয়ে বিভাজ্য হলে সংখ্যাটিও $11$ দিয়ে বিভাজ্য।

উদাহরণ ৬। $918082$ কি $11$ দিয়ে বিভাজ্য?

ডান থেকে: $2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22$। $-22 = 11 \times (-2)$, তাই হ্যাঁ, বিভাজ্য ($918082 = 11 \times 83462$)।

পরিসর আগে দেখো। অজানা অঙ্ক থাকলে একান্তর যোগফল একটা রাশি হয়, যেমন $a - b + 3$। অঙ্ক $0$ থেকে $9$, তাই এই রাশি $-6$ থেকে $12$-এর মধ্যে — এর ভেতরে $11$-এর গুণিতক শুধু $0$ আর $11$। এভাবে "$11$-এর গুণিতক" কথাটা মাত্র ২–৩টি সমীকরণে নেমে আসে।

$99$-এর নিয়ম: দুই অঙ্কের টুকরো

$100 = 99 + 1$ — তাই $99$ দিয়ে ভাগ করতে সংখ্যাটিকে ডান দিক থেকে দুই অঙ্কের টুকরোয় ভাঙো আর টুকরোগুলো যোগ করো। যোগফল $99$ দিয়ে বিভাজ্য হলে সংখ্যাটিও। যেমন $39204$: টুকরো $04$, $92$, $3$, যোগফল $4 + 92 + 3 = 99$ ✓। $9$ আর $11$ দুটো একসাথে চাওয়া হলে ($99 = 9 \times 11$) এই নিয়ম এক ধাপে কাজ করে।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১৪ (সমাধান পর্ব ৩) সমস্যা ১৫ (সমাধান পর্ব ৩)

৬. যৌগিক ভাজক: সহমৌলিক টুকরোয় ভাঙা

$36$ দিয়ে বিভাজ্যতার কোনো সরাসরি অঙ্ক-নিয়ম নেই। কিন্তু $36 = 4 \times 9$, আর $4$ ও $9$-এর কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই (এরা সহমৌলিক)। তখন

$4$ দিয়েও আর $9$ দিয়েও বিভাজ্য ⇔ $36$ দিয়ে বিভাজ্য।

কেন? $4$ দিয়ে বিভাজ্য মানে সংখ্যাটির ভেতরে $2^{2}$ আছে, $9$ দিয়ে বিভাজ্য মানে $3^{2}$ আছে — আলাদা মৌলিক, তাই দুটো একসাথেই আছে, অর্থাৎ $2^{2} \times 3^{2} = 36$।

সাবধান: টুকরো দুটো সহমৌলিক হতেই হবে। $36 = 6 \times 6$ বা $12 = 2 \times 6$ লিখলে ভুল হয়: $18$ সংখ্যাটি $2$ দিয়েও, $6$ দিয়েও বিভাজ্য, কিন্তু $12$ দিয়ে নয়। সঠিক ভাঙন মৌলিক-ঘাত দিয়ে: $12 = 4 \times 3$, $15 = 3 \times 5$, $18 = 2 \times 9$, $45 = 5 \times 9$, $72 = 8 \times 9$, $396 = 4 \times 9 \times 11$।

এরপর প্রতিটি টুকরোর জন্য তার অঙ্ক-নিয়ম খাটাও। প্রতিটি নিয়ম অজানা অঙ্কের উপর একটা শর্ত দেয়। সবচেয়ে কড়া নিয়ম দিয়ে শুরু করো — সাধারণত শেষ অঙ্কের নিয়ম ($5$, $4$, $8$), কারণ ওটা অল্প কয়েকটা সম্ভাবনা রাখে।

উদাহরণ ৭। চার অঙ্কের সংখ্যা $\overline{a36b}$ (অঙ্কগুলো ক্রমে $a, 3, 6, b$) $45$ দিয়ে বিভাজ্য। সংখ্যাটির সর্বোচ্চ মান কত?

$45 = 5 \times 9$ (সহমৌলিক)।

• $5$-এর নিয়ম: $b = 0$ বা $b = 5$।
• $9$-এর নিয়ম: $a + 3 + 6 + b = a + b + 9$, তাই $a + b$ হতে হবে $9$-এর গুণিতক।

$b = 0$ হলে $a = 9$ ($a \ne 0$, কারণ প্রথম অঙ্ক) → $9360$। $b = 5$ হলে $a = 4$ → $4365$। সর্বোচ্চ $9360$ (মিলিয়ে নাও: $9360 = 45 \times 208$)।

একাধিক শর্ত থাকলে (অঙ্ক ভিন্ন হতে হবে, জোড়-বিজোড় ইত্যাদি) পাওয়া কেসগুলো শেষে আলাদা করে ছাঁকো। আর প্রশ্ন যদি অঙ্ক নয়, অঙ্ক দিয়ে বানানো কোনো রাশি চায় (যেমন $2a + 3b$), শেষে সহগ মিলিয়ে বসাও।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১৪ (সমাধান পর্ব ৩) সমস্যা ১৫ (সমাধান পর্ব ৩) সমস্যা ৫ (সমাধান পর্ব ১)

৭. ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম সংখ্যা গড়া

"শর্ত মেনে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা" চাইলে দুটি ধাপ:

• ধাপ ১ — আগে অঙ্কের সংখ্যা যতটা সম্ভব কম। যেকোনো চার অঙ্কের সংখ্যা যেকোনো পাঁচ অঙ্কের সংখ্যার চেয়ে ছোট।
• ধাপ ২ — তারপর বাম থেকে লোভী (greedy) পছন্দ: সবচেয়ে বড় স্থানীয় মানের ঘরে সম্ভাব্য সবচেয়ে ছোট অঙ্ক — কিন্তু প্রথম ঘরে $0$ নয়, আর শেষ অঙ্কের শর্ত (যেমন $5$ বা $10$-এর জন্য) মানতে হবে।

"সবচেয়ে বড়" চাইলে উল্টো: বাম থেকে সবচেয়ে বড় অঙ্ক।

উদাহরণ ৮। শুধু $0$ আর $2$ অঙ্ক দিয়ে লেখা কোন সবচেয়ে ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $45$ দিয়ে বিভাজ্য?

$45 = 5 \times 9$। $5$-এর জন্য শেষ অঙ্ক $0$ (অঙ্ক $5$ তো নেই)। $9$-এর জন্য অঙ্কযোগফল $9$-এর গুণিতক; অঙ্কযোগফল $= 2 \times$ ($2$-এর সংখ্যা), আর $2$ ও $9$ সহমৌলিক, তাই $2$ লাগবে ৯টি (বা ৯-এর গুণিতক সংখ্যক)। সবচেয়ে কম অঙ্ক: ৯টি $2$ আর শেষে একটি $0$ — $2222222220$।

প্যালিনড্রোম: অর্ধেকই পুরো সংখ্যা

যে সংখ্যা উল্টে লিখলেও একই থাকে (যেমন $4994$, $12321$), তাকে প্যালিনড্রোম বলে। $5$-অঙ্কের প্যালিনড্রোম $\overline{d_{1} d_{2} d_{3} d_{2} d_{1}}$ — প্রথম তিনটি অঙ্কই সংখ্যাটা ঠিক করে দেয়। $n$ অঙ্ক বিজোড় হলে স্বাধীন ঘর $\dfrac{n+1}{2}$টি, জোড় হলে $\dfrac{n}{2}$টি। আর প্রথম অঙ্কই শেষ অঙ্ক, তাই প্রথম অঙ্ক $0$ হতে পারে না।

উদাহরণ ৯। শুধু $1, 3, 7$ অঙ্ক দিয়ে গঠিত (তিনটিই আছে) ক্ষুদ্রতম $5$-অঙ্কের প্যালিনড্রোম কত?

স্বাধীন ঘর $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ — ঠিক ৩টি, আর অঙ্কও ৩টি, তাই প্রতিটি অঙ্ক একবার করে বসবে। ক্ষুদ্রতম ক্রম $1, 3, 7$, আয়নায় বাকিটা: $13731$।

একটা বোনাস সত্য: জোড় সংখ্যক অঙ্কের প্রত্যেক প্যালিনড্রোম $11$ দিয়ে বিভাজ্য। যেমন $\overline{abba} = 1001a + 110b = 11(91a + 10b)$।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৯ (সমাধান পর্ব ২) সমস্যা ৫ (সমাধান পর্ব ১) সমস্যা ১৩ (সমাধান পর্ব ৩)

সমস্যা ৯ (সমাধান পর্ব ২)-এ চারটি অঙ্কই থাকলে $4059504$; "শুধু এই অঙ্কগুলো" পড়লে $4000004$। MCQ-তে "চারটিই আছে" লেখা।

৮. গুণিতক গোনা: ভাগফলের পূর্ণাংশ ও অন্তর্ভুক্তি-বর্জন

$1$ থেকে $n$-এ কতগুলো $d$-এর গুণিতক?

$d, 2d, 3d, \ldots$ — যতক্ষণ $kd \le n$। তাই সংখ্যাটা হলো $\dfrac{n}{d}$-এর পূর্ণাংশ:

($\lfloor x \rfloor$ মানে $x$-এর চেয়ে বড় নয় এমন বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা।) $a$ থেকে $b$-এর মধ্যে হলে $1$ থেকে $b$-এর গুণিতক থেকে $1$ থেকে $a - 1$-এর গুণিতক বাদ দাও।

উদাহরণ ১০। $100$ থেকে $500$-এর মধ্যে $7$-এর গুণিতক কয়টি?

$\left\lfloor \dfrac{500}{7} \right\rfloor = 71$ আর $\left\lfloor \dfrac{99}{7} \right\rfloor = 14$, তাই $71 - 14 = 57$টি। (মিলিয়ে নাও: প্রথমটি $105 = 7 \times 15$, শেষটি $497 = 7 \times 71$, গুনলে $71 - 15 + 1 = 57$।) $a$ নয়, $a - 1$ বাদ দেওয়াটা খেয়াল রাখো — নইলে একটা কম হয়।

"অথবা", "উভয়", "ঠিক একটি"

$A$ = $a$-এর গুণিতকের সংখ্যা, $B$ = $b$-এর গুণিতকের সংখ্যা, $C$ = উভয়টির গুণিতকের সংখ্যা। "উভয় দিয়ে বিভাজ্য" মানে লসাগু দিয়ে বিভাজ্য — গুণফল দিয়ে নয়। $4$ ও $6$ উভয় দিয়ে বিভাজ্য মানে $12$ দিয়ে, $24$ দিয়ে নয়।

ছবি দেখলেই সূত্রগুলো বোঝা যায়:

• অন্তত একটি দিয়ে (অথবা): $A + B - C$ — মাঝের অংশ দুবার গোনা হয়েছিল, একবার বাদ।
• ঠিক একটি দিয়ে (একটি, কিন্তু উভয় নয়): $A + B - 2C$ — মাঝের অংশ পুরোটাই বাদ, তাই দুবার।
• কোনোটি দিয়েই নয়: $n - (A + B - C)$।

উদাহরণ ১১। $1$ থেকে $500$-এর মধ্যে কতগুলো সংখ্যা $6$ বা $10$-এর ঠিক একটি দিয়ে বিভাজ্য?

$A = \left\lfloor \dfrac{500}{6} \right\rfloor = 83$, $B = \left\lfloor \dfrac{500}{10} \right\rfloor = 50$। লসাগু $30$, তাই $C = \left\lfloor \dfrac{500}{30} \right\rfloor = 16$। ঠিক একটি দিয়ে: $83 + 50 - 2 \times 16 = 101$।

পূরক গণনা: সব গোনো, খারাপগুলো বাদ দাও

দুটো শর্ত একসাথে সামলানো কঠিন হলে, আর একটা শর্ত ভাঙে এমন সংখ্যা যদি খুব অল্প হয়, তাহলে আগে বড় দলটা গোনো, পরে শর্ত-ভাঙাগুলো বাদ দাও।

উদাহরণ ১২। দুই অঙ্কের $9$-এর গুণিতক $10$টি ($18$ থেকে $99$)। সমান-অঙ্ক সংখ্যা $\overline{aa} = 11a$ শুধু $a = 9$ হলে $9$ দিয়ে বিভাজ্য, তাই অঙ্ক আলাদা এমন গুণিতক $10 - 1 = 9$টি।

ভাজক গোনা ও "অন্তত একটির ভাজক"

$n = p^{x} q^{y}$ হলে $n$-এর প্রতিটি ভাজক $p^{i} q^{j}$ আকারের, যেখানে $i$ নেওয়া যায় $0$ থেকে $x$ — মোট $x + 1$ ভাবে — আর $j$ নেওয়া যায় $y + 1$ ভাবে। তাই ভাজকের সংখ্যা $(x + 1)(y + 1)$। আর দুটি সংখ্যার সাধারণ ভাজক ঠিক তাদের গসাগুর ভাজক। তাই "অন্তত একটির ভাজক" গোনায় অন্তর্ভুক্তি-বর্জন খাটাও, আর প্রতিটি ছেদ গোনো গসাগু দিয়ে।

উদাহরণ ১৩। $144 = 2^{4} \times 3^{2}$ আর $4860 = 2^{2} \times 3^{5} \times 5$ — এদের অন্তত একটির ভাজক কয়টি?

$144$-এর ভাজক $(4 + 1)(2 + 1) = 15$টি; $4860$-এর $(2 + 1)(5 + 1)(1 + 1) = 36$টি। গসাগু $= 2^{2} \times 3^{2}$, তার ভাজক $3 \times 3 = 9$টি। উত্তর $15 + 36 - 9 = 42$। তিনটি সংখ্যা হলে: একক যোগ $-$ জোড়ার ছেদ $+$ তিনটির ছেদ।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ৪ (সমাধান পর্ব ১) সমস্যা ৬ (সমাধান পর্ব ১) সমস্যা ১৭ (সমাধান পর্ব ৩)

৯. বর্গসংখ্যা আর অঙ্ক

বর্গ গুনতে বর্গমূল গোনো

"তিন অঙ্কের কতগুলো বর্গসংখ্যা …" — বর্গগুলো নয়, তাদের বর্গমূল গোনো। তিন অঙ্কের বর্গ $10^{2} = 100$ থেকে $31^{2} = 961$ পর্যন্ত ($32^{2} = 1024$ চার অঙ্কের), তাই বর্গমূল $10$ থেকে $31$।

এরপর শর্তটা বর্গমূলে নিয়ে যাও। মৌলিক $p$ যদি $n^{2}$-কে ভাগ করে, তবে $n$-কেও ভাগ করে ($n$-এর মৌলিক উৎপাদকই $n^{2}$-এর মৌলিক উৎপাদক, নতুন কিছু আসে না)। আর জোড়-বিজোড় বর্গ করলে বদলায় না।

উদাহরণ ১৪। তিন অঙ্কের কতগুলো বর্গসংখ্যা $5$ দিয়ে বিভাজ্য?

$5$ দিয়ে $n^{2}$ বিভাজ্য ⇔ $5$ দিয়ে $n$ বিভাজ্য। $10$ থেকে $31$-এর মধ্যে $5$-এর গুণিতক: $10, 15, 20, 25, 30$ — ৫টি।

দুই অঙ্কের বর্গ মাত্র ৬টি — $16, 25, 36, 49, 64, 81$ — মুখস্থ রাখা কাজে দেয়।

অঙ্কের গুণফল বর্গ: বর্গমুক্ত অংশ

প্রতিটি অঙ্ককে লেখো "বর্গ $\times$ বর্গমুক্ত অংশ": $1, 4, 9$-এর বর্গমুক্ত অংশ $1$; $2, 8$-এর $2$ ($8 = 4 \times 2$); $3$-এর $3$; $5$-এর $5$; $6$-এর $6$; $7$-এর $7$। দুটি অশূন্য সংখ্যার গুণফল বর্গ ঠিক তখন, যখন তাদের বর্গমুক্ত অংশ সমান। এতে অঙ্কগুলো ছোট ছোট দলে ভাগ হয়ে যায়, আর গোনা সহজ হয়।

উদাহরণ ১৫। দুই অঙ্কের (কোনো অঙ্ক $0$ নয়) কতগুলো সংখ্যার অঙ্কগুলোর গুণফল কোনো অশূন্য বর্গের $3$ গুণ ($3, 12, 27, 48, \ldots$)?

গুণফলের বর্গমুক্ত অংশ $3$ হতে হবে। দুই অঙ্কের বর্গমুক্ত অংশের জোড়া হতে পারে $(1, 3)$ বা $(2, 6)$ (কারণ $2 \times 6 = 12 = 4 \times 3$)। দল $1$ = তিনটি অঙ্ক ($1, 4, 9$), দল $3$ = একটি ($3$), দল $2$ = দুটি ($2, 8$), দল $6$ = একটি ($6$)। ক্রম গুরুত্বপূর্ণ, তাই দুই দিক:

তালিকা: $13, 31, 43, 34, 93, 39, 26, 62, 86, 68$ — ১০টি।

$0$ অঙ্ক নিয়ে সাবধান: $0 = 0^{2}$, তাই $0$-ও বর্গ। প্রশ্নে "অশূন্য" বা "ধনাত্মক" না বললে যে সংখ্যায় $0$ অঙ্ক আছে (গুণফল $0$), সেটাও গুনতে হবে। আর $14$ ও $41$ আলাদা সংখ্যা — ক্রম গোনো।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১ (সমাধান পর্ব ১) সমস্যা ৭ (সমাধান পর্ব ২)

সমস্যা ৭ (সমাধান পর্ব ২)-এ $0$-কে বর্গ ধরলে উত্তর $26$, না ধরলে $17$। MCQ-তে "$0$-ও পূর্ণবর্গ" লেখা থাকে, উত্তর $26$।

১০. অঙ্কের সমীকরণ: উৎপাদকে সাজানো

দুই অজানা অঙ্ক $x$, $y$-এর গুণফল আর যোগফল একই সমীকরণে থাকলে — যেমন $xy = x + y + 7$ বা $xy = 3(x + y)$ — দুই দিকে একটা ধ্রুবক যোগ করে বাঁ দিকটা দুটি বন্ধনীর গুণফল বানাও (Simon's Favorite Factoring Trick)।

$xy - x - y = 7$ লিখে দুই দিকে $1$ যোগ করো:

সাধারণভাবে $xy = a(x + y)$ হলে দুই দিকে $a^{2}$ যোগ করো: $(x - a)(y - a) = a^{2}$।

উদাহরণ ১৬। দুটি অঙ্ক $x$ ও $y$-এর গুণফল তাদের যোগফলের চেয়ে $7$ বেশি। $(x, y)$ জোড়া কয়টি?

$(x - 1)(y - 1) = 8$। উৎপাদক-জোড়া: $1 \times 8$, $2 \times 4$, $4 \times 2$, $8 \times 1$ → $(x, y) = (2, 9), (3, 5), (5, 3), (9, 2)$। ঋণাত্মক জোড়াও দেখো: $(-1) \times (-8)$ দিলে $y = -7$, $(-2) \times (-4)$ দিলে $y = -3$ — অঙ্ক নয়। তাই ৪টি জোড়া।

ডান দিকের সংখ্যাটা ছোট, তাই উৎপাদক-জোড়া হাতে গোনা যায়। এরপর বাকি শর্ত দিয়ে ছাঁকো — $x$ ও $y$-এর জায়গা বদলালে সংখ্যা বদলে যায়।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১২ (সমাধান পর্ব ২)

১১. "$n + k$ দিয়ে বিভাজ্য": ভাজককে নতুন চলক ধরা

প্রশ্ন: $n$-এর একটা রাশি $f(n)$-কে $n + k$ ভাগ করে, $n$-এর সর্বোচ্চ মান কত? কৌশল: $f(n)$-কে লেখো "($n + k$)-এর গুণিতক $+$ একটা ধ্রুবক $C$"। $n + k$ যদি $f(n)$-কে ভাগ করে আর গুণিতক অংশটাকেও ভাগ করে, তবে $C$-কেও ভাগ করতে হবে (অনুচ্ছেদ ১-এর যোগ-বিয়োগ নিয়ম)। ফলে $n + k \le C$ — সীমা পাওয়া গেল। সহজ উপায়: $m = n + k$ বসিয়ে $n = m - k$ লেখো, তারপর রাশি খুলে ফেলো।

উদাহরণ ১৭। $n^{2} + 10$ যদি $n + 2$ দিয়ে বিভাজ্য হয়, $n$-এর সর্বোচ্চ মান কত?

তাই $n + 2$ দিয়ে $14$ বিভাজ্য। $14$-এর ভাজক $1, 2, 7, 14$; $n \ge 1$ বলে $n + 2 \ge 3$, তাই $n + 2 = 7$ বা $14$ → $n = 5$ বা $12$। সর্বোচ্চ $12$। মিলিয়ে নাও: $144 + 10 = 154 = 14 \times 11$ ✓।

পাওয়া সীমাটা শুধু প্রয়োজনীয় শর্ত। রাশিতে ভগ্নাংশ থাকলে (যেমন $\dfrac{n(n+1)}{2}$) আগে $2$ বা $4$ দিয়ে গুণ করে পূর্ণসংখ্যা বানাও, তারপর বড় থেকে ছোট প্রার্থীগুলো সরাসরি পরীক্ষা করো — প্রথম যেটা মেলে সেটাই উত্তর।

ঘনের যোগফল — কেন বর্গ?

$T_{n} = 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ ধরো। তাহলে

(দ্বিতীয়টা: $\dfrac{n(n+1)}{2} + \dfrac{(n-1)n}{2} = \dfrac{2n^{2}}{2}$।) গুণ করলে $T_{n}^{2} - T_{n-1}^{2} = n^{3}$। এখন $n = 1, 2, \ldots$ বসিয়ে সব যোগ করো — মাঝের পদগুলো কেটে যায়:

ছোট পরীক্ষা: $1 + 8 + 27 = 36 = 6^{2}$, আর $T_{3} = 6$ ✓।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১৮ (সমাধান পর্ব ৩)

১২. পরপর লেখা সংখ্যার $n$-তম অঙ্ক

$123456789101112 \cdots$ — এর $1000$-তম অঙ্ক কত? সংখ্যাগুলোকে অঙ্ক-দৈর্ঘ্য অনুযায়ী ব্লকে ভাগ করো:

ব্লক	কয়টি সংখ্যা	কয়টি অঙ্ক	মোট পর্যন্ত
$1$–$9$	$9$	$9$	$9$
$10$–$99$	$90$	$180$	$189$
$100$–$999$	$900$	$2700$	$2889$

ধাপ ১ — ব্লক খোঁজো। $1000$-তম অঙ্ক $189$-এর পরে, $2889$-এর আগে — তিন অঙ্কের ব্লকে।

ধাপ ২ — ব্লকের ভেতরে অবস্থান। $1000 - 189 = 811$। এখন অঙ্ক-দৈর্ঘ্য $3$ দিয়ে ভাগ করো: $811 = 3 \times 270 + 1$।

ধাপ ৩ — ভাগফল আর ভাগশেষ পড়ো। $270$টি তিন অঙ্কের সংখ্যা ($100$ থেকে $369$) পুরো লেখা হয়ে গেছে; ভাগশেষ $1$, তাই পরের সংখ্যা $370$-এর প্রথম অঙ্ক — উত্তর $3$।

ভাগশেষ $0$ হলে কিন্তু পরের সংখ্যায় যেও না — তখন সেটা আগের সংখ্যার শেষ অঙ্ক। এটাই সবচেয়ে সাধারণ off-by-one ভুল।

উল্টো দিক থেকে মেলানোর জন্য সূত্র: তিন অঙ্কের $N$ পর্যন্ত মোট অঙ্ক $9 + 180 + 3(N - 99) = 3N - 108$।

এই কৌশল লাগে: সমস্যা ১৬ (সমাধান পর্ব ৩)

২০২৭-এর জন্য প্রস্তুতি

BdMO ২০২৩, ২০২৪ ও ২০২৬ — তিন বছরেই এই টপিক এসেছে। বারবার এসেছে: অজানা অঙ্ক + কয়েকটি ভাজক, গুণিতক গোনা ও অন্তর্ভুক্তি-বর্জন, পরপর লেখা বিশাল সংখ্যা, আর ফাঁকা সেটের ফাঁদ।

প্রশ্নে যা দেখবে	কৌশল	কোথায় এসেছে
"$a$ দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু $b$ দিয়ে নয়", $b$ দিয়ে $a$ বিভাজ্য	সেট ফাঁকা, যোগফল $0$	সমস্যা ১০ (সমাধান পর্ব ২) সমস্যা ১১ (সমাধান পর্ব ২)
অঙ্ক উল্টে যোগ / বিয়োগ	$11(x + y)$ / $9(x - y)$	সমস্যা ৮ (সমাধান পর্ব ২)
বিশাল সংখ্যা, ভাজক $2, 4, 5, 8$	শুধু শেষ ১–৩টি অঙ্ক	সমস্যা ২ (সমাধান পর্ব ১)
"সর্বনিম্ন কত যোগ করলে $3$ বা $9$ দিয়ে বিভাজ্য"	অঙ্কযোগফলের ভাগশেষ $r$, উত্তর $d - r$	সমস্যা ৩ (সমাধান পর্ব ১)
গুণিতক + নির্দিষ্ট অঙ্কযোগফল	$9$-ভাগশেষ দিয়ে গুণক ছাঁকা	সমস্যা ১৩ (সমাধান পর্ব ৩)
অজানা অঙ্ক, ভাজক $36, 44, 72, 99, 792$ …	সহমৌলিক টুকরো + প্রতিটির অঙ্ক-নিয়ম	সমস্যা ১৪ (সমাধান পর্ব ৩) সমস্যা ১৫ (সমাধান পর্ব ৩)
"শুধু কিছু অঙ্ক দিয়ে গঠিত", সবচেয়ে ছোট	কম অঙ্ক, শেষ অঙ্কের শর্ত, অঙ্কযোগফল	সমস্যা ৫ (সমাধান পর্ব ১)
প্যালিনড্রোম, ক্ষুদ্রতম/বৃহত্তম	অর্ধেক লেখো, বাম থেকে লোভী	সমস্যা ৯ (সমাধান পর্ব ২)
"$1$ থেকে $n$-এ কতগুলো … অথবা / ঠিক একটি"	$\lfloor n/d \rfloor$, লসাগু, $A + B - C$ বা $A + B - 2C$	সমস্যা ৬ (সমাধান পর্ব ১)
দুটি শর্ত, একটা ভাঙে এমন সংখ্যা অল্প	পূরক গণনা	সমস্যা ৪ (সমাধান পর্ব ১)
"অন্তত একটির ভাজক"	$(x + 1)(y + 1)$ + গসাগু + অন্তর্ভুক্তি-বর্জন	সমস্যা ১৭ (সমাধান পর্ব ৩)
বর্গসংখ্যা গোনা, বর্গের উপর শর্ত	বর্গমূলের পরিসর	সমস্যা ১ (সমাধান পর্ব ১)
অঙ্কের গুণফল বর্গ	বর্গমুক্ত অংশে দল	সমস্যা ৭ (সমাধান পর্ব ২)
অঙ্কের গুণফল ও যোগফল একই সমীকরণে	$(x - a)(y - a)$ বানাও	সমস্যা ১২ (সমাধান পর্ব ২)
"$n + k$ দিয়ে $f(n)$ বিভাজ্য, সর্বোচ্চ $n$"	$f(n) =$ গুণিতক $+ C$, তাই $n + k \le C$	সমস্যা ১৮ (সমাধান পর্ব ৩)
পরপর লেখা সংখ্যার $n$-তম অঙ্ক	$9$, $180$, $2700$ ব্লক, ভাগ ও ভাগশেষ	সমস্যা ১৬ (সমাধান পর্ব ৩)

পরীক্ষার হলে: সংখ্যাটাকে স্থানীয় মানে খুলে লেখো, আর প্রতিটি অজানা অঙ্কের পাশে তার সীমা ($0$–$9$, প্রথম অঙ্ক হলে $1$–$9$) লিখে রাখো।

সাধারণ ফাঁদ

• ভুল টুকরোয় ভাঙা: $36 = 6 \times 6$ বা $12 = 2 \times 6$ — টুকরো সহমৌলিক না হলে "দুটো দিয়েই বিভাজ্য" থেকে গুণফল দিয়ে বিভাজ্যতা আসে না। ভাঙো মৌলিক-ঘাতে: $4 \times 9$, $4 \times 3$।
• "উভয়" মানে গুণফল ভাবা: $4$ ও $6$ উভয় দিয়ে বিভাজ্য মানে $12$ (লসাগু) দিয়ে, $24$ দিয়ে নয়।
• "ঠিক একটি"-তে ছেদ একবার বাদ দেওয়া: "অথবা" হলে $A + B - C$, "ঠিক একটি" হলে $A + B - 2C$।
• $11$-এর নিয়মে শুধু $0$ খোঁজা: একান্তর যোগফল $11$ বা $-11$-ও হতে পারে। আগে পরিসর দেখো।
• ব্লকের ভাগশেষ $0$: তখন উত্তর আগের সংখ্যার শেষ অঙ্ক, পরের সংখ্যার প্রথম অঙ্ক নয়।
• সীমার off-by-one: $a$ থেকে $b$-এর গুণিতক গুনতে $\lfloor (a - 1)/d \rfloor$ বাদ দাও, $\lfloor a/d \rfloor$ নয়।
• ছাঁকনিকেই উত্তর ধরা: $9$-ভাগশেষের ছাঁকনি বা "$n + k \le C$" সীমা শুধু প্রার্থী কমায় — প্রতিটি প্রার্থী আসল শর্তে মিলিয়ে দেখো।

এই টপিকের সমস্যাগুলো (সহজ → কঠিন)

• সমস্যা ১ — দুই অঙ্কের বিজোড় বর্গসংখ্যা গোনা · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (খুলনা, রাজশাহী) — সমস্যা ১ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ২ — প্রত্যয়ের মজার ভাগ-যন্ত্র ও ২ দিয়ে বিভাজ্যতা · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (নারায়ণগঞ্জ) — সমস্যা ২ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৩ — সর্বনিম্ন কত যোগ করলে ৩ দিয়ে বিভাজ্য · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (গাজীপুর) — সমস্যা ১ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৪ — ভিন্ন অঙ্কের দুই অঙ্কের ৭-এর গুণিতক · BdMO ২০২৩ নির্বাচনী — সমস্যা ৬ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৫ — শুধু ০ ও ১ অঙ্কের সবচেয়ে ছোট ১৫-এর গুণিতক · BdMO ২০২৬ আঞ্চলিক (খুলনা ও সিরাজগঞ্জ) — সমস্যা ১ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৬ — মাইনসুইপার কার্ড — ৩ বা ৫ দিয়ে বিভাজ্য, কিন্তু উভয় দিয়ে নয় · BdMO ২০২৬ আঞ্চলিক (ময়মনসিংহ ও বরিশাল) — সমস্যা ৩ · সমাধান পর্ব ১
• সমস্যা ৭ — অঙ্কের গুণফল বর্গ — দুই অঙ্কের সংখ্যা গোনা · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (যশোর) — সমস্যা ৪ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ৮ — অঙ্ক উল্টে যোগ করলে ১৫৪ · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (খুলনা, রাজশাহী) — সমস্যা ৫ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ৯ — ৪, ৫, ৯, ০ দিয়ে ক্ষুদ্রতম সাত অঙ্কের প্যালিনড্রোম · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (নারায়ণগঞ্জ, ব্রাহ্মণবাড়িয়া) — সমস্যা ৭ · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (রংপুর, চট্টগ্রাম) — সমস্যা ৬ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১০ — ৮ দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু ৪ দিয়ে নয় — ফাঁকা যোগফলের ফাঁদ · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (বরিশাল) — সমস্যা ১ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১১ — ৯ দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু ৩ দিয়ে নয় — খালি সেটের ফাঁদ · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (সিলেট) — সমস্যা ১ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১২ — মাঝের দুই অঙ্কের গুণফল যোগফলের দ্বিগুণ · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (যশোর, নরসিংদী) — সমস্যা ৪ · সমাধান পর্ব ২
• সমস্যা ১৩ — ১৭-এর গুণিতক যার অঙ্কের যোগফলও ১৭ · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (ব্রাহ্মণবাড়িয়া) — সমস্যা ৬ · সমাধান পর্ব ৩
• সমস্যা ১৪ — ৩৬ ও ১১ দিয়ে বিভাজ্য তিন অঙ্ক একই এমন সংখ্যা · BdMO ২০২৩ আঞ্চলিক (বগুড়া, ফেনী) — সমস্যা ৬ · সমাধান পর্ব ৩
• সমস্যা ১৫ — ৮, ৯ ও ১১ দিয়ে বিভাজ্য $\overline{a55bc}$ · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (সিলেট) — সমস্যা ৭ · সমাধান পর্ব ৩
• সমস্যা ১৬ — ওঠা-নামা করে লেখা সংখ্যার ২০২৬-তম অঙ্ক · BdMO ২০২৬ আঞ্চলিক (সিলেট) — সমস্যা ৭ · সমাধান পর্ব ৩
• সমস্যা ১৭ — তিনটি ঘাতের অন্তত একটির ভাজক · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (কুমিল্লা, খুলনা) — সমস্যা ৫ · সমাধান পর্ব ৩
• সমস্যা ১৮ — ঘনের যোগফলকে n + ৩ ভাগ করে — সর্বোচ্চ n · BdMO ২০২৪ আঞ্চলিক (কুমিল্লা, খুলনা) — সমস্যা ৮ · সমাধান পর্ব ৩