৫০তম BCS — অনুপাত ও সমানুপাত (ধারাবাহিক)

এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ১টি প্রশ্ন — ধারাবাহিক সমানুপাত থেকে চূড়ান্ত অনুপাত।

---

প্রশ্ন ৬৩: যদি a/b = b/c = ২/৩ হয়, তবে a:c এর মান কত হবে?

বিকল্প: (ক) ২ : ৩ • (খ) ৩ : ৪ • (গ) ৪ : ৯ ✓ • (ঘ) ৯ : ৪

এক লাইনে

a/c = (a/b) × (b/c) = (২/৩) × (২/৩) = ৪/৯।

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ	ফলাফল
১	a/b = ২/৩	চিহ্নিত
২	b/c = ২/৩	চিহ্নিত
৩	শৃঙ্খল গুণ: a/c = (a/b) × (b/c)	(২/৩) × (২/৩)
৪	গুণফল	৪/৯
৫	অনুপাত	a : c = ৪ : ৯

ধারাবাহিক সমানুপাত (Continued Proportion)

সংজ্ঞা: a : b = b : c → a, b, c ধারাবাহিক সমানুপাতী।

মধ্যসমানুপাতী: b² = a × c → b = √(ac)

যাচাই: a/b = b/c = ২/৩

• যদি b = ৩, তবে a = ২ (a/b = ২/৩)
• যদি b = ৩, তবে c = ৯/২ = ৪.৫ (b/c = ২/৩ → ৩/c = ২/৩ → c = ৯/২)

সহজ অনুপাত: a = ৪, b = ৬, c = ৯ → a/b = ৪/৬ = ২/৩ ✓, b/c = ৬/৯ = ২/৩ ✓, a:c = ৪:৯ ✓।

অনুপাত-সমানুপাতের মূল সূত্র

অনুপাতের ধর্ম:

• a:b = ma:mb (উভয়কে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগ করলে অনুপাত অপরিবর্তিত)
• বিপরীত অনুপাত: a:b → b:a

সমানুপাতের সূত্র:

• a:b = c:d ⟺ ad = bc (অন্তর্গুণ = বহিঃগুণ)
• যৌগিক অনুপাত: (a:b) × (c:d) = ac:bd
• বহিঃপদ a ও d, মধ্যপদ b ও c

বণ্টন সমস্যা:

• a:b:c অনুপাতে মোট T বণ্টন →
  • a-এর অংশ = T × a/(a+b+c)
  • b-এর অংশ = T × b/(a+b+c)
  • c-এর অংশ = T × c/(a+b+c)

এই প্রশ্নের চারটি বিকল্প — কেন ভুল?

অপশন	ভুল ব্যাখ্যা
(ক) ২:৩	এটি a:b বা b:c — মূল অনুপাত, c-এর সাথে নয়
(খ) ৩:৪	সম্পূর্ণ ভুল গণনা
(গ) ৪:৯ ✓	(২/৩) × (২/৩) = ৪/৯
(ঘ) ৯:৪	বিপরীত — c:a-এর জন্য সঠিক হতো

অন্যান্য টাইপ — BCS-favourite

টাইপ ১: যদি a:b = ২:৩ এবং b:c = ৪:৫ হয়, তবে a:b:c?

• b-কে সমান করতে হবে। b-এর LCM(৩,৪) = ১২
• a:b = ২:৩ = ৮:১২; b:c = ৪:৫ = ১২:১৫
• a:b:c = ৮:১২:১৫

টাইপ ২: তিনজন ব্যক্তি ২:৩:৫ অনুপাতে ১০০০ টাকা ভাগ করল। প্রত্যেকের ভাগ?

• মোট ভাগ = ২+৩+৫ = ১০
• প্রথমজন = ১০০০ × ২/১০ = ২০০ টাকা
• দ্বিতীয়জন = ৩০০, তৃতীয়জন = ৫০০

পরীক্ষার শর্টকাট

• ধারাবাহিক সমানুপাত (a/b = b/c = k) → a:c = k²:১
• a/b = b/c = ২/৩ → a:c = (২/৩)² = ৪/৯ → ৪:৯
• a/b = b/c = ৩/৪ → a:c = ৯/১৬

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

অনুপাত ও সমানুপাত — মূল লেকচার শিট — অনুপাতের ধর্ম, সমানুপাতের ৪ পদ (বহিঃ-অন্তর), ধারাবাহিক ও মধ্যসমানুপাতী, যৌগিক অনুপাত, ত্রি-অনুপাত (a:b:c), বণ্টন সমস্যা (BCS-frequent — টাকা/লোক/সময় ভাগ), এবং অনুপাত-শতকরা রূপান্তর।