৪০তম BCS — বীজগাণিতিক সূত্রাবলি (২টি প্রশ্ন)

এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ২টি প্রশ্ন — ঘন সূত্র ও x + ১/x টাইপ।

---

প্রশ্ন ১: ((০.৯)³ + (০.৪)³)/(০.৯ + ০.৪) এর মান কত?

বিকল্প: (ক) ০.৩৬ • (খ) ০.৫১ • (গ) ০.৮১ • (ঘ) ০.৬১ ✓

এক লাইনে

(a³ + b³)/(a + b) = a² − ab + b² — সরাসরি সূত্র প্রয়োগ।

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ	মান
১	a, b চিহ্নিত	a = ০.৯, b = ০.৪
২	সূত্র	(a³+b³)/(a+b) = a² − ab + b²
৩	a²	০.৮১
৪	ab	০.৩৬
৫	b²	০.১৬
৬	ফল	০.৮১ − ০.৩৬ + ০.১৬ = ০.৬১

---

প্রশ্ন ২: যদি x⁴ − x² + ১ = ০ হয়, তবে x³ + ১/x³ = ?

বিকল্প: (ক) ৩ • (খ) ২ • (গ) ১ • (ঘ) ০ ✓

এক লাইনে

সমীকরণকে x² দিয়ে ভাগ করে x² + ১/x² = ১ পান; এতে (x + ১/x)² = ৩; তারপর x³ + ১/x³ = k³ − ৩k সূত্রে k² = ৩ বসান → ০।

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ	ফলাফল
১	x⁴ − x² + ১ = ০ কে x² দিয়ে ভাগ	x² − ১ + ১/x² = ০
২	সাজান	x² + ১/x² = ১
৩	k = x + ১/x ধরি	k² = x² + ২ + ১/x² = ১ + ২ = ৩
৪	ঘন সূত্র	x³ + ১/x³ = k³ − ৩k = k(k² − ৩)
৫	প্রতিস্থাপন	k(৩ − ৩) = k × ০ = ০

মূল সূত্র / ধারণা

প্রদত্ত	x² + ১/x²	x³ + ১/x³
x + ১/x = k	k² − ২	k³ − ৩k
x − ১/x = k	k² + ২	k³ + ৩k

• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

অনুরূপ উদাহরণ

প্রশ্ন	সমাধান
(১.২³ + ০.৮³)/(১.২ + ০.৮)	১.৪৪ − ০.৯৬ + ০.৬৪ = ১.১২
x + ১/x = ২ হলে x³ + ১/x³	২³ − ৩×২ = ২
x² + ১/x² = ২ হলে x³ + ১/x³	k² = ৪ → k(k²−৩) = ±২

মনে রাখার কৌশল

• ঘনের যোগফল ÷ যোগফল দেখলেই সঙ্গে সঙ্গে a² − ab + b² লিখুন — পুরো ঘন হিসাব নয়।
• 'x³ + ১/x³' চাইলে আগে x + ১/x বের করুন; k পেলে k³ − ৩k।

সাধারণ ভুল / ফাঁদ

• a² − ab + b²-এর বদলে (a + b)² ব্যবহার করা।
• প্রশ্ন ২-এ x বাস্তব নাও হতে পারে, কিন্তু বীজগাণিতিক মান নির্ণয় বৈধ — k² = ৩ যথেষ্ট।

পরীক্ষার শর্টকাট

• (a³ ± b³)/(a ± b) → মাঝের পদের চিহ্ন উল্টো: যোগফলে a² − ab + b², বিয়োগফলে a² + ab + b²।

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও উৎপাদক — মূল লেকচার শিট — ৫০+ বীজগাণিতিক identities, উৎপাদকে বিশ্লেষণ, Remainder/Factor Theorem, x + ১/x ও x − ১/x সম্পর্কিত সমস্যা, দ্বিপদী বিস্তার, এবং BCS-frequent algebraic problem-solving শর্টকাট।