৪০তম BCS — সংখ্যা ধারা ও প্যাটার্ন (২টি প্রশ্ন)

এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ২টি প্রশ্ন — অনুক্রমের পদ নির্ণয় ও দল-বিভাজনের সমাহার।

---

প্রশ্ন ১: cos(nπ/২) অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?

বিকল্প: (ক) −১ • (খ) ১ ✓ • (গ) ১/২ • (ঘ) ০

এক লাইনে

চতুর্থ পদে n = ৪ বসান: cos(৪π/২) = cos(২π) = ১।

ধাপে ধাপে সমাধান

n	nπ/২	cos(nπ/২)
১	π/২	০
২	π	−১
৩	৩π/২	০
৪	২π	১

চতুর্থ পদ = cos(২π) = ১।

---

প্রশ্ন ২: ৬ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কত ভাবে বিভক্ত করা যায়?

বিকল্প: (ক) ১০ • (খ) ২০ ✓ • (গ) ৬০ • (ঘ) ১২০

এক লাইনে

৬ জন থেকে ৩ জন বেছে এক দল গঠন করলে বাকি ৩ জন স্বয়ংক্রিয়ভাবে অন্য দল — উপায় = C(৬,৩)।

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ	মান
১	প্রতি দলে খেলোয়াড়	৬ ÷ ২ = ৩ জন
২	এক দলের জন্য ৩ জন বাছাই	C(৬,৩)
৩	C(৬,৩) গণনা	৬!/(৩!৩!) = ২০
৪	বাকি ৩ জন → অন্য দল	স্বয়ংক্রিয়
৫	মোট উপায়	২০

নোট: এখানে দল দুটি নামাঙ্কিত (দল A, দল B) ধরা হয়েছে — তাই C(৬,৩) = ২০। যদি দল দুটি অভিন্ন (নামহীন) হতো, উত্তর হতো ২০/২ = ১০।

মূল সূত্র / ধারণা

• সমাহার: C(n, r) = n!/[r!(n−r)!] — ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।
• C(৬,৩) = (৬×৫×৪)/(৩×২×১) = ১২০/৬ = ২০।
• cos-এর পর্যাবৃত্তি: cos ০ = ১, cos(π/২) = ০, cos π = −১, cos(৩π/২) = ০, cos ২π = ১।

অনুরূপ উদাহরণ

প্রশ্ন	সমাধান
৮ জনকে ৪+৪ দুই নামাঙ্কিত দলে	C(৮,৪) = ৭০
১০ জন থেকে ৩ জনের কমিটি	C(১০,৩) = ১২০
sin(nπ/২)-এর ২য় পদ (n=২)	sin π = ০

মনে রাখার কৌশল

• 'দল গঠন' = সমাহার (ক্রম নেই); 'সাজানো/পদ বণ্টন' = বিন্যাস (ক্রম আছে)।
• ত্রিকোণমিতিক অনুক্রমে পদসংখ্যা n বসিয়ে সরাসরি মান নিন।

সাধারণ ভুল / ফাঁদ

• C(৬,৩) = ২০ পেয়ে আবার ২ দিয়ে ভাগ করা — দল নামাঙ্কিত হলে ভাগ করতে হয় না (BCS-এ ২০ গৃহীত উত্তর)।
• চতুর্থ পদে n = ৩ বসানো — পদসংখ্যা ১ থেকে শুরু, চতুর্থ পদে n = ৪।

পরীক্ষার শর্টকাট

• ২n জনকে n + n দুই দলে → C(২n, n) উপায়।
• cos(nπ/২) চক্র: ০, −১, ০, ১ — চার পদের পুনরাবৃত্তি।

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

সংখ্যা ধারা ও প্যাটার্ন — মূল লেকচার শিট — সমান্তর/গুণোত্তর/হারমনিক ধারার সূত্রাবলি, n-তম পদ ও যোগফল, অসীম যোগফল, বিন্যাস ও সমাহার, ত্রিকোণমিতিক অনুক্রম, সংখ্যা প্যাটার্ন (Fibonacci, বর্গ-ঘন সংখ্যা), এবং প্যাটার্ন-চেনার BCS-favourite কৌশল।