৩৮তম BCS — সংখ্যা ধারা ও প্যাটার্ন অংশের প্রশ্নসমাধান

এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ২টি প্রশ্ন এসেছিল — শর্তসাপেক্ষ সমাহার (কমিটি গঠন) ও সমান্তর ধারা।

---

প্রশ্ন ১: ৪ জন মহিলা ও ৬ জন পুরুষের মধ্য থেকে ৪ সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

বিকল্প: (ক) ২১০ • (খ) ৩০৪ • (গ) ৮৪ ✓ • (ঘ) ১২০

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ	ফলাফল
১	মোট ব্যক্তি	৪ + ৬ = ১০ জন
২	নির্দিষ্ট পুরুষ স্থির রাখা	কমিটিতে তাঁর জায়গা নিশ্চিত
৩	বাকি সদস্য দরকার	৪ − ১ = ৩ জন
৪	বাছাইয়ের জন্য অবশিষ্ট ব্যক্তি	১০ − ১ = ৯ জন
৫	উপায় সংখ্যা	C(৯,৩) = (৯×৮×৭)/(৩×২×১) = ৮৪

---

প্রশ্ন ২: একটি সমান্তর অনুক্রমে ৫ম পদটি ১৮ এবং প্রথম ৫টি পদের যোগফল ৭৫ হলে প্রথম পদটি কত?

বিকল্প: (ক) ২ • (খ) ১০ • (গ) ৪ • (ঘ) ১২ ✓

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ	ফলাফল
১	৫ পদের যোগফল = ৫ × মধ্যম পদ	৭৫ = ৫ × T₃ → T₃ = ১৫
২	T₅ = T₃ + ২d	১৮ = ১৫ + ২d → d = ১.৫
৩	T₁ = T₃ − ২d	১৫ − ২(১.৫) = ১৫ − ৩ = ১২

মূল সূত্র / ধারণা

সমাহার: C(n,r) = n!/[r!(n−r)!] — ক্রম গুরুত্বহীন। নির্দিষ্ট সদস্য 'সর্বদা থাকবে' হলে তাকে স্থির রেখে বাকিদের বাছুন। সমান্তর ধারা: Tₙ = a + (n−1)d; বিজোড় সংখ্যক পদের যোগফল = পদসংখ্যা × মধ্যম পদ।

অনুরূপ উদাহরণ

সমস্যা	সমাধান
৮ জন থেকে ৩ জনের কমিটি, ১ জন নির্দিষ্ট থাকবে	C(৭,২) = ২১
৭ পদের সমান্তর ধারার যোগফল ৮৪ → ৪র্থ পদ	৮৪/৭ = ১২
AP-তে T₃=১৫, d=১.৫ → T₅	১৫ + ২(১.৫) = ১৮

মনে রাখার কৌশল

• 'নির্দিষ্ট ব্যক্তি অবশ্যই থাকবে' → তাকে বাদ দিয়ে গণনা: C(n−১, r−১)।
• বিজোড় পদসংখ্যার AP-তে যোগফল = পদসংখ্যা × মাঝের পদ — দ্রুত পথ।

সাধারণ ভুল / ফাঁদ

• C(৯,৪) = ১২৬ ধরা — নির্দিষ্ট পুরুষ স্থির, তাই বাছতে হবে মাত্র ৩ জন, C(৯,৩)।
• যোগফল সূত্রে n/2[2a+(n−1)d] সরাসরি না বুঝে এলোমেলো বসানো; মধ্যম পদ পদ্ধতি নিরাপদ।

পরীক্ষার শর্টকাট

• শর্তযুক্ত কমিটি: নির্দিষ্ট জন স্থির → C(অবশিষ্ট, বাকি প্রয়োজন) = C(৯,৩) = ৮৪।
• ৫ পদের AP যোগফল ৭৫ → ৩য় পদ ১৫; ১ম পদ = ১৫ − ২d।

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

সংখ্যা ধারা ও প্যাটার্ন — মূল লেকচার শিট — সমান্তর/গুণোত্তর ধারার সূত্র, n-তম পদ ও যোগফল, বিন্যাস ও সমাহার, শর্তযুক্ত কমিটি সমস্যা, এবং প্যাটার্ন-চেনার কৌশল।