Loading...
Loading...
এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ৪টি প্রশ্ন — সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ টপিক।
বিকল্প: (ক) x • (খ) ২x • (গ) x² • (ঘ) x + ১ ✓
০ < x < ১ পরিসরে: x² < x < ২x < ২; কিন্তু x + ১ সর্বদা ১-এর বেশি ও ২x-এর চেয়ে বেশি।
| Expression | মান |
|---|---|
| x = ০.৫ | ০.৫ |
| ২x = ১.০ | ১.০ |
| x² = ০.২৫ | ০.২৫ |
| x + ১ = ১.৫ | ১.৫ ← সবচেয়ে বড় |
তাই x + ১ সবচেয়ে বড়।
বিকল্প: (ক) ২ • (খ) ৮১ • (গ) ০ • (ঘ) ৭৬ ✓
Remainder Theorem: p(x)-কে (x – a) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ = p(a)।
| ধাপ | কাজ | মান |
|---|---|---|
| ১ | p(x) = x⁴ – ২x + ১ | চিহ্নিত |
| ২ | ভাজক (x – ৩) → a = ৩ | চিহ্নিত |
| ৩ | p(৩) গণনা | ৩⁴ – ২(৩) + ১ |
| ৪ | মান | ৮১ – ৬ + ১ = ৭৬ |
p(a) = ০ ⟺ (x – a) হলো p(x)-এর গুণনীয়ক।
বিকল্প: (ক) ০ • (খ) ১ • (গ) ২ • (ঘ) √২ ✓
y = √x + ১/√x ধরলে y² = x + ১/x + ২ = ০ + ২ = ২ → y = √২।
| ধাপ | কাজ | ফলাফল |
|---|---|---|
| ১ | y = √x + ১/√x | মান নির্ণেয় |
| ২ | y² = (√x + ১/√x)² | (a + b)² সূত্র |
| ৩ | বিস্তার | x + ২(√x · ১/√x) + ১/x |
| ৪ | সরলীকরণ | (x + ১/x) + ২ |
| ৫ | প্রতিস্থাপন | ০ + ২ = ২ |
| ৬ | y = √(y²) | √২ |
| প্রদত্ত | x² + ১/x² | x³ + ১/x³ |
|---|---|---|
| x + ১/x = k | k² – ২ | k³ – ৩k |
| x – ১/x = k | k² + ২ | k³ + ৩k |
√x + ১/√x = √(x + ১/x + ২) √x – ১/√x = √(x + ১/x – ২)
বিকল্প: (ক) পঞ্চম • (খ) সপ্তম • (গ) অষ্টম ✓ • (ঘ) নবম
x² – ২ + ১/x² = (x – ১/x)² → (x² – ২ + ১/x²)⁷ = (x – ১/x)¹⁴। এর ১৫টি পদ; মধ্যপদ = ৮ম।
| ধাপ | কাজ | ফলাফল |
|---|---|---|
| ১ | চিনুন | x² – ২ + ১/x² = (x – ১/x)² |
| ২ | সূচক বিস্তার | (x – ১/x)¹⁴ |
| ৩ | মোট পদ সংখ্যা | n + ১ = ১৪ + ১ = ১৫ |
| ৪ | মধ্যপদ (n জোড়) | (n/২ + ১)তম = ৮ম |
সাধারণ পদ (General Term):
Tᵣ₊₁ = C(n, r) · aⁿ⁻ʳ · bʳ
মধ্যপদ:
উদাহরণ:
x² – ২ + ১/x² দেখলে চিনতে হবে এটি (x – ১/x)²।
এভাবে:
| সূত্র |
|---|
| (a + b)² = a² + ২ab + b² |
| (a – b)² = a² – ২ab + b² |
| (a + b)² + (a – b)² = ২(a² + b²) |
| (a + b)² – (a – b)² = ৪ab |
| a² – b² = (a + b)(a – b) |
| (a + b)³ = a³ + b³ + ৩ab(a + b) |
| (a – b)³ = a³ – b³ – ৩ab(a – b) |
| a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) |
| a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) |
| a³ + b³ + c³ – ৩abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca) |
বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও উৎপাদক — মূল লেকচার শিট — ৫০+ বীজগাণিতিক identities, উৎপাদকে বিশ্লেষণ (মধ্যপদ ভাঙন, সূত্র, গ্রুপিং), Remainder/Factor Theorem, x + ১/x, x – ১/x সম্পর্কিত সমস্যা, দ্বিপদী বিস্তার ও Binomial Theorem, এবং BCS-frequent algebraic problem-solving শর্টকাট।