Loading...
Loading...
এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ৩টি প্রশ্ন — পরম মান অসমতা, দ্বিঘাত সমাধান, ক্ষুদ্রতম মান।
বিকল্প: (ক) (–১/৩, ০) • (খ) (–১/৩, ∞) • (গ) (–১/৩, ১) ✓ • (ঘ) (∞, ১/৩)
|A| < k ⟺ –k < A < k
| ধাপ | কাজ | ফলাফল |
|---|---|---|
| ১ | পরম মান অসমতা | |৩x – ১| < ২ |
| ২ | দুই দিকে খুলুন | –২ < ৩x – ১ < ২ |
| ৩ | সবদিকে ১ যোগ | –১ < ৩x < ৩ |
| ৪ | সবদিকে ৩ ভাগ | –১/৩ < x < ১ |
| ৫ | সমাধান সেট | (–১/৩, ১) |
| অসমতা | সমতুল্য |
|---|---|
| |x| < k (k > ০) | –k < x < k |
| |x| > k (k > ০) | x < –k বা x > k |
| |x| ≤ k | –k ≤ x ≤ k |
| |x| ≥ k | x ≤ –k বা x ≥ k |
| |x – a| < k | a – k < x < a + k |
বিকল্প: (ক) {p, q} ✓ • (খ) {p, –q} • (গ) {–p, q} • (ঘ) {–p, –q}
x² – (p + q)x + pq = (x – p)(x – q) = ০ → x = p অথবা x = q।
ax² + bx + c = ০ এর মূলদ্বয় α, β হলে:
| সম্পর্ক | সূত্র |
|---|---|
| মূলদ্বয়ের যোগফল | α + β = –b/a |
| মূলদ্বয়ের গুণফল | αβ = c/a |
এই প্রশ্নে:
x² – (p + q)x + pq:
বিকল্প: (ক) –৩/৪ • (খ) –১/৮ ✓ • (গ) ১/৮ • (ঘ) ৩/৪
ax² + bx + c (a > ০) এর ক্ষুদ্রতম মান = c – b²/(৪a)।
| ধাপ | কাজ | মান |
|---|---|---|
| ১ | a, b, c চিহ্নিত | a=২, b=৩, c=১ |
| ২ | b²/(৪a) | ৯/৮ |
| ৩ | ক্ষুদ্রতম = c – b²/(৪a) | ১ – ৯/৮ = ৮/৮ – ৯/৮ = –১/৮ |
২x² + ৩x + ১ = ২(x² + (৩/২)x) + ১ = ২(x² + (৩/২)x + ৯/১৬ – ৯/১৬) + ১ = ২((x + ৩/৪)² – ৯/১৬) + ১ = ২(x + ৩/৪)² – ৯/৮ + ১ = ২(x + ৩/৪)² – ১/৮
(x + ৩/৪)² ≥ ০ → ২(x + ৩/৪)² ≥ ০ → সম্পূর্ণ মান ≥ –১/৮
ক্ষুদ্রতম = –১/৮ (যখন x = –৩/৪)
| ax² + bx + c | শর্ত | মান | কোথায়? |
|---|---|---|---|
| Parabola খোলা উপরে (a > ০) | ক্ষুদ্রতম | c – b²/(৪a) | x = –b/(২a) |
| Parabola খোলা নিচে (a < ০) | বৃহত্তম | c – b²/(৪a) | x = –b/(২a) |
সমাধান (Quadratic Formula):
x = (–b ± √(b² – ৪ac)) / (২a)
নির্ণায়ক (Discriminant): D = b² – ৪ac
| D-এর মান | মূলের প্রকৃতি |
|---|---|
| D > ০ | দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল |
| D = ০ | দুটি সমান বাস্তব মূল |
| D < ০ | বাস্তব মূল নেই (জটিল মূল) |
সমীকরণ (সরল ও দ্বিঘাত) — মূল লেকচার শিট — সরল সমীকরণ, দ্বিচলক সমীকরণের সমাধান (প্রতিস্থাপন, নির্ণায়ক, Cramer's Rule), দ্বিঘাত সমীকরণ — সূত্র ও উৎপাদক পদ্ধতি, নির্ণায়ক ও মূলের প্রকৃতি, ভিয়েতার সূত্র, ক্ষুদ্রতম-বৃহত্তম মান, পরম মান সমীকরণ ও অসমতা, এবং BCS-frequent শব্দসমস্যা।