Loading...
Loading...
এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ২টি প্রশ্ন — অসীম GP যোগফল ও পদ সংখ্যা নির্ণয়।
বিকল্প: (ক) –২/৩ ✓ • (খ) –৩/২ • (গ) ২/৩ • (ঘ) ৩/২
অসীম GP-এর যোগফল S∞ = a/(১ – r), যখন |r| < ১।
| ধাপ | কাজ | মান |
|---|---|---|
| ১ | প্রথম পদ | a = –১ |
| ২ | দ্বিতীয়/প্রথম | (১/২)/(–১) = –১/২ |
| ৩ | তৃতীয়/দ্বিতীয় | (–১/৪)/(১/২) = –১/২ |
| ৪ | সাধারণ অনুপাত | r = –১/২ |
| ৫ | r | |
| ৬ | যোগফল | S∞ = a/(১ – r) = –১/(১ – (–১/২)) = –১/(৩/২) = –২/৩ |
বিকল্প: (ক) ৫ • (খ) ৬ • (গ) ৭ ✓ • (ঘ) ৮
GP — প্রথম পদ ৩, অনুপাত ১/২; n-তম পদ ৩/২^(n–১) = ৩/৬৪ → ২^(n–১) = ৬৪ = ২⁶ → n = ৭।
| ধাপ | কাজ | মান |
|---|---|---|
| ১ | প্রথম পদ | a = ৩ |
| ২ | সাধারণ অনুপাত | r = ১/২ |
| ৩ | n-তম পদের সূত্র | Tₙ = a · r^(n–১) = ৩ · (১/২)^(n–১) |
| ৪ | শেষ পদ ৩/৬৪ | ৩/২^(n–১) = ৩/৬৪ |
| ৫ | সরলীকরণ | ২^(n–১) = ৬৪ = ২⁶ |
| ৬ | সমাধান | n – ১ = ৬ → n = ৭ |
পদ: a, a+d, a+২d, a+৩d, ...
n-তম পদ: Tₙ = a + (n–১)d
n পদের যোগফল:
Sₙ = (n/২) × [২a + (n–১)d] = (n/২) × (a + l) [l = শেষ পদ]
উদাহরণ: ২, ৫, ৮, ১১, ... → a=২, d=৩, T₁০ = ২ + ৯×৩ = ২৯
পদ: a, ar, ar², ar³, ...
n-তম পদ: Tₙ = a · r^(n–১)
n পদের যোগফল:
অসীম GP যোগফল (|r| < ১):
S∞ = a/(১ – r)
উদাহরণ: ২, ৬, ১৮, ৫৪, ... → a=২, r=৩, T₅ = ২×৩⁴ = ১৬২
যদি ১/a, ১/b, ১/c... AP হয়, তবে a, b, c... HP।
উদাহরণ: ১/২, ১/৩, ১/৪, ... → HP (কারণ ২, ৩, ৪ AP)
| ধারা | যোগফল |
|---|---|
| ১+২+৩+...+n | n(n+১)/২ |
| ১²+২²+৩²+...+n² | n(n+১)(২n+১)/৬ |
| ১³+২³+৩³+...+n³ | [n(n+১)/২]² |
| ২+৪+৬+...+২n (জোড়) | n(n+১) |
| ১+৩+৫+...+(২n–১) (বিজোড়) | n² |
Q70 (অসীম GP):
Q75 (পদ সংখ্যা):
সংখ্যা ধারা ও প্যাটার্ন — মূল লেকচার শিট — সমান্তর/গুণোত্তর/হারমনিক ধারার পূর্ণাঙ্গ সূত্রাবলি, n-তম পদ ও যোগফল, অসীম যোগফল, AGP (Arithmetic-Geometric Progression), Σn/Σn²/Σn³ বিশেষ যোগফল, সংখ্যা প্যাটার্ন (Fibonacci, ত্রিভুজ সংখ্যা, বর্গ সংখ্যা, ঘন সংখ্যা), এবং প্যাটার্ন-চেনার BCS-favourite কৌশল।