৪৯তম BCS (বিশেষ) — সেট ও ভেনচিত্র

এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ২টি প্রশ্ন — সেটের পার্থক্য ও সম্ভাব্যতা (probability)।

---

প্রশ্ন ৯: M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2} হলে N − M = ?

বিকল্প: (ক) { } ✓ • (খ) {a, b} • (গ) {0} • (ঘ) {−a, −b}

এক লাইনে সংজ্ঞা

A − B = A-এর সেই উপাদান যেগুলো B-তে নেই।

ধাপে ধাপে সমাধান

• N = {1, 2}
• M = {a, b, 1, 2}
• N-এর উপাদান: 1, 2 — দুটোই M-এ আছে
• N − M = কোনো উপাদান অবশিষ্ট নেই = ∅ = { } ✓

সেট অপারেশন — ৫ মৌলিক ধারণা

অপারেশন	প্রতীক	অর্থ
মিলন (Union)	A ∪ B	A বা B-এর সব উপাদান
ছেদ (Intersection)	A ∩ B	A ও B উভয়ের উপাদান
পার্থক্য	A − B	A-তে আছে, B-তে নেই
পরিপূরক (Complement)	A'	U-তে আছে, A-তে নেই
Cartesian Product	A × B	ক্রমজোড়ের সেট

N ⊂ M হলে → N − M = ∅ (এই প্রশ্নের মূল চাবি)

যখন N একটি সাবসেট M-এর (N ⊆ M), তখন:

• N − M = ∅
• N ∪ M = M
• N ∩ M = N

সেট-এর গুরুত্বপূর্ণ সূত্র (Inclusion-Exclusion)

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| 
             − |A∩B| − |B∩C| − |A∩C| 
             + |A∩B∩C|

---

প্রশ্ন ৩৯: ৩ সবুজ ও ২ লাল বল এক থলিতে; ২ সবুজ ও ৫ লাল আরেক থলিতে। প্রত্যেক থলি থেকে ১টি — অন্তত একটি সবুজ হওয়ার সম্ভাব্যতা?

বিকল্প: (ক) 5/7 ✓ • (খ) 2/7 • (গ) 5/12 • (ঘ) 1/4

এক লাইনে কৌশল

পরিপূরক ব্যবহার: P(অন্তত একটি সবুজ) = 1 − P(কোনোটিই সবুজ নয়) = 1 − P(দুটিই লাল)।

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ ১ — থলি ১: P(লাল) = ?

• মোট ৫টি বল (৩ সবুজ + ২ লাল)
• P(লাল) = ২/৫

ধাপ ২ — থলি ২: P(লাল) = ?

• মোট ৭টি বল (২ সবুজ + ৫ লাল)
• P(লাল) = ৫/৭

ধাপ ৩ — দুটিই লাল (স্বাধীন ঘটনা)

P(দুটিই লাল) = (২/৫) × (৫/৭) = ১০/৩৫ = ২/৭

ধাপ ৪ — পরিপূরক

P(অন্তত একটি সবুজ) = ১ − ২/৭ = ৫/৭ ✓

সম্ভাব্যতার ৫ মৌলিক সূত্র

সূত্র	প্রয়োগ
P(A) = সমর্থক ÷ সম্ভাব্য মোট	মৌলিক
P(A বা B) = P(A) + P(B) − P(A ও B)	যোগ-নিয়ম
P(A ও B) = P(A) × P(B)	(স্বাধীন হলে)
P(A ও B) = P(A) × P(B|A)	শর্তসাপেক্ষ (নির্ভরশীল)
P(A') = ১ − P(A)	পরিপূরক — এই প্রশ্নের চাবি

'অন্তত' (At least) → সর্বদা পরিপূরক বিবেচনা

• 'অন্তত একটি সবুজ' = ১ − P(কোনোটি সবুজ নয়)
• 'অন্তত দুটি সবুজ' = ১ − P(<২টি সবুজ) = ১ − P(০) − P(১)
• 'কোনোটিই নয়' = সরাসরি গণনা সহজ

সাধারণ ফাঁদ

• ❌ 'অন্তত একটি সবুজ' = P(একটি) — ভুল, এটা এক বা বেশি
• ❌ স্বাধীন না-নির্ভরশীল চিনতে ভুল
• ✅ 'প্রতিটি থলি থেকে আলাদা বল' → ঘটনা স্বাধীন → গুণ

পরীক্ষার শর্টকাট

• 'সেট − ' = বেস সেট থেকে অপরটির উপাদান বাদ
• N ⊆ M → N − M = ∅
• 'অন্তত' → ১ − 'কোনোটি না' (পরিপূরক)
• স্বাধীন ঘটনা → গুণফল

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

সেট ও ভেনচিত্র — মূল লেকচার শিট — সেটের সংজ্ঞা ও প্রকার, ভেনচিত্র, Inclusion-Exclusion প্রমাণ, সম্ভাব্যতার মৌলিক সূত্র, স্বাধীন বনাম নির্ভরশীল ঘটনা, শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা, বাইনোমিয়াল ও পয়সঁ বিতরণ ভূমিকা, এবং BCS-favourite ৪০+ প্রশ্ন।