৪৯তম BCS (বিশেষ) — সংখ্যা ধারা ও প্যাটার্ন

এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ৩টি প্রশ্ন — সমান্তর ধারার যোগফল, প্যাটার্নের পরবর্তী পদ, গুণোত্তর ধারার অনুপাত।

---

প্রশ্ন ১: সমান্তর ধারার ৪র্থ ও ১২তম পদের যোগফল 20। প্রথম 15 পদের যোগফল?

বিকল্প: (ক) 100 • (খ) 150 ✓ • (গ) 200 • (ঘ) 300

এক লাইনে শর্টকাট

S_(2n+1) = (2n+1) × T_(n+1) — অযোড় সংখ্যক পদের যোগফল = সংখ্যা × মধ্যম পদ।

এখানে S₁₅ = ১৫ × T₈ = ১৫ × ১০ = ১৫০।

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ ১ — T₄ + T₁₂ থেকে T₈ বের করি

• T_n = a + (n−১)d
• T₄ = a + ৩d, T₁₂ = a + ১১d
• T₄ + T₁₂ = ২a + ১৪d = ২(a + ৭d) = 20
• ⇒ a + ৭d = ১০ = T₈

ধাপ ২ — S₁₫ সূত্র প্রয়োগ

• S_n = (n/২) × [২a + (n−১)d]
• S₁₅ = (১৫/২) × [২a + ১৪d] = (১৫/২) × ২ × (a + ৭d) = ১৫ × ১০ = ১৫০

---

প্রশ্ন ৪: ১, √৯, ৫, √৪৯, ... — পরবর্তী সংখ্যা?

বিকল্প: (ক) ৮ • (খ) ৯ ✓ • (গ) ১০ • (ঘ) ১২

এক লাইনে চাবি

মূল্যায়ন করুন: ১, ৩, ৫, ৭, ... — বিজোড় সংখ্যার সমান্তর ধারা। পরবর্তী = ৯ (অথবা √৮১)।

বিভ্রান্তির কারণ

প্রশ্নটি ইচ্ছাকৃতভাবে √৯, √৪৯ লিখে দেখানো হয়েছে যে এই দুটি পদ যথাক্রমে ৩ ও ৭ — অর্থাৎ বিজোড় সংখ্যা। সরল মূল্যায়নেই প্যাটার্ন স্পষ্ট হয়।

---

প্রশ্ন ২৭: গুণোত্তর ধারার ৫ম পদ ৩২ ও ৮ম পদ ২৫৬ হলে সাধারণ অনুপাত?

বিকল্প: (ক) ৮ • (খ) ১৬ • (গ) ২ ✓ • (ঘ) ১/২

এক লাইনে সূত্র

r^(n−m) = T_n / T_m — গুণোত্তর ধারার দুটি পদের অনুপাতের মাধ্যমে সাধারণ অনুপাত।

ধাপে ধাপে সমাধান

• T₅ = a·r⁴ = ৩২
• T₈ = a·r⁷ = ২৫৬
• T₈/T₅ = r³ = ২৫৬/৩২ = ৮
• ⇒ r = ∛৮ = ২ ✓

সমান্তর (AP) বনাম গুণোত্তর (GP) ধারা

বৈশিষ্ট্য	AP	GP
পরপর পদের পার্থক্য	ধ্রুবক d	ধ্রুবক ratio r
n-তম পদ	T_n = a + (n−১)d	T_n = a · r^(n−১)
যোগফল	S_n = (n/২)[২a + (n−১)d]	S_n = a(r^n − ১)/(r − ১)
অসীম যোগ	(নেই)	S_∞ = a/(১−r), যদি |r|<১
উদাহরণ	২, ৫, ৮, ১১ ...	২, ৪, ৮, ১৬ ...

গুরুত্বপূর্ণ AP-GP সম্পর্ক

• AP-তে: T₁ + T_n = T₂ + T_(n−১) = T₃ + T_(n−২) = ... (যোগফল ধ্রুবক)
• GP-তে: T₁ × T_n = T₂ × T_(n−১) = ... (গুণফল ধ্রুবক)
• যেকোনো ৩ পদ AP-তে → 2b = a + c (মধ্যম = অপর দুইয়ের গড়)
• যেকোনো ৩ পদ GP-তে → b² = a·c (মধ্যম = অপর দুইয়ের গুণোত্তর গড়)

Pattern-Recognition Toolbox (BCS-trick)

প্যাটার্ন	চেনার চিহ্ন	উদাহরণ
সমান্তর (AP)	পরপর পার্থক্য সমান	২, ৫, ৮, ১১
গুণোত্তর (GP)	পরপর অনুপাত সমান	২, ৬, ১৮, ৫৪
বর্গ ধারা	n² প্যাটার্ন	১, ৪, ৯, ১৬
ঘন ধারা	n³ প্যাটার্ন	১, ৮, ২৭, ৬৪
বিজোড় ধারা	n-তম পদ = (২n−১)	১, ৩, ৫, ৭
ফিবোনাচ্চি	T_n = T_(n−১) + T_(n−2)	১, ১, ২, ৩, ৫, ৮

পরীক্ষার শর্টকাট

• AP: S_(2n+1) = (2n+1) × T_(n+1) (অযোড় পদ সংখ্যা)
• GP: r^(n−m) = T_n/T_m (অনুপাত)
• প্যাটার্ন প্রশ্নে: পরপর পার্থক্য / অনুপাত / বর্গ চেক করুন
• √-চিহ্ন থাকলে মূল্যায়ন আগে করুন

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

সংখ্যা ধারা ও প্যাটার্ন — মূল লেকচার শিট — সমান্তর ও গুণোত্তর ধারার পূর্ণাঙ্গ সূত্র, যোগফল-পদ সূত্র, harmonic progression, arithmetic-geometric mean, ফিবোনাচ্চি ও অন্যান্য বিশেষ ধারা, পদ-সংখ্যা সূত্র, এবং BCS-favourite ৩০+ ধারা-প্রশ্ন।