৪৯তম BCS (বিশেষ) — রেখা, কোণ ও ত্রিভুজ

এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ২টি প্রশ্ন — কোণ-অনুপাত ও ৩০-৬০-৯০ ত্রিভুজ।

---

প্রশ্ন ৪৫: ত্রিভুজের প্রথম কোণ = দ্বিতীয় কোণের অর্ধেক, তৃতীয় কোণ = অপর দুই কোণের অন্তরের তিনগুণ। দ্বিতীয় কোণ?

বিকল্প: (ক) ৩০ • (খ) ৬০ ✓ • (গ) ৯০ • (ঘ) ৪৫

এক লাইনে সমাধান

প্রথম = x, দ্বিতীয় = 2x, তৃতীয় = 3(2x−x) = 3x। যোগফল ১৮০° → 6x = 180 → x = 30 → দ্বিতীয় = 2x = ৬০°।

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ
১	প্রথম = x, দ্বিতীয় = ২x (প্রথম দ্বিতীয়ের অর্ধেক)
২	তৃতীয় = ৩ × অন্তর = ৩(২x − x) = ৩x
৩	ত্রিভুজের কোণযোগ = ১৮০°
৪	x + ২x + ৩x = ৬x = ১৮০
৫	x = ৩০ → দ্বিতীয় = ২x = ৬০°

দ্ব্যর্থতা-সতর্কতা

প্রশ্নের বাংলা পাঠ্যে কেউ 'যোগফলের তিনগুণ' পড়লে গণিত ভিন্ন আসবে (তৃতীয় = ৯x → ১২x = ১৮০ → x = ১৫ → দ্বিতীয় = ৩০ — অপশন ক)। বোর্ডের ৬০° উত্তর একমাত্র 'অন্তরের তিনগুণ' পাঠেই সঙ্গত। পরীক্ষায় বোর্ডের ভাষ্যই গ্রহণযোগ্য।

---

প্রশ্ন ৫৯: PQR ত্রিভুজে ∠Q = 90° এবং ∠P = 2∠R। সঠিক কোনটি?

বিকল্প: (ক) PR = 2QR • (খ) PQ = 2PR • (গ) PR = 2PQ ✓ • (ঘ) QR = 2PQ

এক লাইনে কৌশল

৩০-৬০-৯০ ত্রিভুজের বাহু-অনুপাত: ১ : √৩ : ২ — ৩০°-এর বিপরীত বাহু সবচেয়ে ছোট, ৯০°-এর বিপরীত (অতিভুজ) সবচেয়ে বড়।

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ ১ — কোণ বের করুন

• ∠Q = ৯০° ⇒ ∠P + ∠R = ৯০°
• ∠P = ২∠R ⇒ ৩∠R = ৯০° ⇒ ∠R = ৩০°, ∠P = ৬০°

ধাপ ২ — বাহু ও কোণের সম্পর্ক

• ∠Q = ৯০° ⇒ অতিভুজ PR (Q-এর বিপরীত)
• ∠R = ৩০° ⇒ বিপরীত বাহু PQ → সবচেয়ে ছোট
• ∠P = ৬০° ⇒ বিপরীত বাহু QR → মধ্যম

ধাপ ৩ — অনুপাত প্রয়োগ

বাহু অনুপাত (PQ : QR : PR) = (১ : √৩ : ২)

তাই: PR = ২ × PQ ✓

ত্রিভুজের গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক

ত্রিভুজের ধরন	কোণ	বাহু অনুপাত
৩০-৬০-৯০	৩০°, ৬০°, ৯০°	১ : √৩ : ২
৪৫-৪৫-৯০	৪৫°, ৪৫°, ৯০°	১ : ১ : √২
সমবাহু	৬০°, ৬০°, ৬০°	১ : ১ : ১
৩-৪-৫ (পিথাগোরিয়ান)	প্রায় ৩৬.৯°, ৫৩.১°, ৯০°	৩ : ৪ : ৫
৫-১২-১৩	(পিথাগোরিয়ান)	৫ : ১২ : ১৩
৮-১৫-১৭	(পিথাগোরিয়ান)	৮ : ১৫ : ১৭

ত্রিভুজের কোণ-বাহু সম্পর্ক — মৌলিক নিয়ম

1. কোণের যোগফল = ১৮০° (ইউক্লিডিয়ান প্ল্যানে)
2. বড় কোণের বিপরীত বাহু বড়, ছোট কোণের ছোট
3. ত্রিভুজ অসমতা: যেকোনো দুই বাহুর যোগফল > তৃতীয় বাহু
4. পিথাগোরাসের সূত্র (সমকোণী): a² + b² = c² (c = অতিভুজ)
5. কোসাইন সূত্র: c² = a² + b² − 2ab·cos C

৩০-৬০-৯০ ত্রিভুজের ব্যবহারিক প্রয়োগ

• সমবাহু ত্রিভুজের অর্ধেক → ৩০-৬০-৯০ ত্রিভুজ গঠন
• উচ্চতা = (√৩/২) × বাহু
• ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × বাহু² (সমবাহু)

পরীক্ষার শর্টকাট

• ৩০-৬০-৯০ দেখলে → ১:√৩:২ স্বয়ংক্রিয় বাহু-অনুপাত
• ৪৫-৪৫-৯০ দেখলে → ১:১:√২
• ত্রিভুজের 'অর্ধেক/দ্বিগুণ' কোণ-সম্পর্ক প্রশ্ন → কোণ বের করার পর বাহু-অনুপাত প্রয়োগ

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

রেখা, কোণ ও ত্রিভুজ — মূল লেকচার শিট — কোণের প্রকার (পূরক, সম্পূরক, বিপরীত), সমান্তরাল রেখা ও ছেদক, ত্রিভুজের ৬ প্রকার, congruency-similarity, ৩০-৬০-৯০ ও ৪৫-৪৫-৯০ অনুপাত, পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট, কোসাইন/সাইন সূত্র, ও ত্রিভুজ-সম্পর্কিত BCS-favourite ৪০+ প্রশ্ন।