Loading...
Loading...
এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ২টি প্রশ্ন — x+1/x=2 হলে x⁴+1/x⁴ (Q93), এবং kx²+3x+4 পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত (Q100)।
বিকল্প: (ক) 1 • (খ) 0 • (গ) 2 ✓ • (ঘ) 1/2
(a+b)² = a² + 2ab + b² → a² + b² = (a+b)² − 2ab
যেহেতু x · (1/x) = 1, এই সূত্র সরাসরি ব্যবহারযোগ্য।
(x + 1/x)² = 2² x² + 2(x)(1/x) + 1/x² = 4 x² + 2 + 1/x² = 4 x² + 1/x² = 2
(x² + 1/x²)² = 2² x⁴ + 2(x²)(1/x²) + 1/x⁴ = 4 x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 4 x⁴ + 1/x⁴ = 2
| ধাপ | মান |
|---|---|
| x + 1/x | 2 |
| x² + 1/x² | 2 |
| x⁴ + 1/x⁴ | 2 |
| x³ + 1/x³ | ? |
এই বিশেষ ক্ষেত্রে — x + 1/x = 2 → x = 1, তাই সকল ক্ষেত্রে x^n + 1/x^n = 2।
x + 1/x = 2 → x² - 2x + 1 = 0 → (x-1)² = 0 → x = 1
x = 1 হলে যেকোনো x^n + 1/x^n = 1 + 1 = 2।
| সূত্র | উদাহরণ |
|---|---|
| (a+b)² = a² + 2ab + b² | (3+2)² = 9+12+4 = 25 |
| (a-b)² = a² - 2ab + b² | (3-2)² = 1 |
| a² + b² = (a+b)² - 2ab | পরীক্ষায় অপ্রত্যক্ষ |
| a² + b² = (a-b)² + 2ab | একই |
| a² - b² = (a+b)(a-b) | চিহ্নিত উৎপাদক |
| (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | |
| (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ | |
| a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²) | |
| a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²) |
'x · (1/x) = 1 — তাই (x+1/x)²-এ middle term = 2।'
বিকল্প: (ক) -16/9 • (খ) -9/16 • (গ) 9/16 ✓ • (ঘ) 16/9
ax² + bx + c পূর্ণবর্গ হলে — b² - 4ac = 0।
কারণ: পূর্ণবর্গ মানে = (px+q)² = p²x² + 2pqx + q² — এই রাশির বিভিন্ন সহগ-জ্ঞান।
বা সমীকরণের দৃষ্টিতে: ax² + bx + c = 0 এর দু'টি মূল সমান হলে — সেটি পূর্ণবর্গ → নিশ্চায়ক = 0।
k = 9/16 হলে — kx² + 3x + 4 = (9/16)x² + 3x + 4 = (3x/4)² + 2·(3x/4)·2 + 2² = (3x/4 + 2)² ✓
ax² + bx + c = পূর্ণবর্গ হলে — c = b²/(4a)
'পূর্ণবর্গ → discriminant = 0 → b² = 4ac।'
| নিশ্চায়ক | মূলের প্রকৃতি |
|---|---|
| b² - 4ac > 0 | দু'টি ভিন্ন বাস্তব মূল |
| b² - 4ac = 0 | একটি দ্বৈত বাস্তব মূল (পূর্ণবর্গ) |
| b² - 4ac < 0 | দু'টি জটিল/অবাস্তব মূল |
ax² + bx + c পূর্ণবর্গ → c = b²/(4a)। সরাসরি এক ধাপ।
বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও উৎপাদক — মূল লেকচার শিট — মৌলিক সূত্রাবলি (বর্গ-ঘন-উৎপাদক), উৎপাদকে বিশ্লেষণের সব পদ্ধতি, x+1/x, x-1/x, x²+1/x², x³+1/x³, x^n+1/x^n সম্পর্কিত প্যাটার্ন, পূর্ণবর্গের শর্ত, BCS-পুনরাবৃত্ত বীজগণিত সমস্যা।