৪০তম BCS — সূচক ও লগারিদম (২টি প্রশ্ন)

এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ২টি প্রশ্ন — সূচক সমীকরণ ও লগারিদমের ভিত্তির শর্ত।

---

প্রশ্ন ১: x^(x√x) = (x√x)^x হলে x এর মান কত?

বিকল্প: (ক) ৩/২ • (খ) ৪/৫ • (গ) ৯/৪ ✓ • (ঘ) ২/৩

এক লাইনে

দুই পক্ষের ভিত্তি x একই — তাই সূচক সমান করুন: x·(x√x) = x·(x√x)... আসলে সূচকে x√x = x^(৩/২) বসিয়ে সরল করুন।

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ	ফলাফল
১	x√x সরল করুন	x√x = x · x^(১/২) = x^(৩/২)
২	বাম পক্ষের সূচক	x^(৩/২)
৩	বাম পক্ষ লিখি	x^(x · x^(৩/২)) = x^(x^(৫/২))
৪	ডান পক্ষ লিখি	(x^(৩/২))^x = x^((৩/২)x)
৫	ভিত্তি সমান → সূচক সমান	x^(৫/২) = (৩/২)x
৬	x দিয়ে ভাগ	x^(৩/২) = ৩/২
৭	দুই পক্ষে ২/৩ ঘাত	x = (৩/২)^(২/৩) ... সরাসরি: √x = ৩/২ → x = ৯/৪

সরল পথ: x^(৩/২) = ৩/২ মানে (√x)³ = (৩/২)... আসলে x·√x = (৩/২)·x দিলে √x = ৩/২ → x = ৯/৪।

যাচাই

x = ৯/৪ হলে √x = ৩/২, x√x = (৯/৪)(৩/২) = ২৭/৮। বাম ও ডান উভয় পক্ষের সূচক মিলে যায়।

---

প্রশ্ন ২: কোন শর্তে logₐ১ = ০?

বিকল্প: (ক) a > ০, a ≠ ১ ✓ • (খ) a ≠ ০, a > ১ • (গ) a > ০, a = ১ • (ঘ) a ≠ ১, a < ০

এক লাইনে

logₐ১ = ০ মানে a⁰ = ১ — কিন্তু লগারিদমের ভিত্তি বৈধ হতে হলে a > ০ ও a ≠ ১ হতেই হবে।

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ	ফলাফল
১	লগ থেকে সূচক রূপান্তর	logₐ১ = ০ ⟺ a⁰ = ১
২	a⁰ = ১ কখন সত্য?	যেকোনো a ≠ ০-এর জন্য
৩	তবে লগারিদমের ভিত্তির নিয়ম	ভিত্তি ধনাত্মক ও ১ নয়
৪	চূড়ান্ত শর্ত	a > ০ এবং a ≠ ১

মূল সূত্র / ধারণা

• logₐ N সংজ্ঞায়িত হয় যখন: a > ০, a ≠ ১, এবং N > ০।
• a = ১ হলে logₐ N অর্থহীন (১-এর যেকোনো ঘাত ১, তাই অনন্যভাবে নির্ণয় হয় না)।
• logₐ ১ = ০ এবং logₐ a = ১ — যেকোনো বৈধ ভিত্তির জন্য।

অনুরূপ উদাহরণ

রাশি	মান	শর্ত
log₅ ১	০	৫ > ০, ৫ ≠ ১ ✓
log₂ ২	১	বৈধ ভিত্তি
log₁ ৫	অসংজ্ঞায়িত	ভিত্তি = ১

মনে রাখার কৌশল

• লগারিদমের ভিত্তি: 'ধনাত্মক হবে, কিন্তু ১ হবে না' — দুই শর্তই একসাথে দরকার।

সাধারণ ভুল / ফাঁদ

• শুধু a > ০ মনে রাখা, a ≠ ১ ভুলে যাওয়া।
• a ≠ ০ লেখা যথেষ্ট ভাবা — ঋণাত্মক ভিত্তিও অবৈধ, তাই a > ০ লাগবে।

পরীক্ষার শর্টকাট

• লগারিদমের ভিত্তি সংক্রান্ত যেকোনো প্রশ্নে উত্তর প্রায় সবসময় 'a > ০, a ≠ ১'।

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

সূচক ও লগারিদম — মূল লেকচার শিট — সূচকের ১২টি নিয়ম, লগারিদমের ১০টি নিয়ম (গুণন, ভাগ, ঘাত, ভিত্তি বদল), লগারিদমের ভিত্তি ও সংজ্ঞার শর্ত, characteristic ও mantissa, সূচক ও লগ-সমীকরণ সমাধান, এবং BCS-frequent ঘাত-মান মুখস্থ তালিকা।