৩৯তম BCS — সমীকরণ (সরল ও দ্বিঘাত) অংশের প্রশ্নসমাধান

৩৯তম বিসিএস (স্পেশাল) প্রিলিমিনারিতে এই টপিক থেকে ২টি প্রশ্ন — দ্বিঘাত অসমতা ও পরম মান অসমতা। অসমতা সমাধানে চিহ্ন বিশ্লেষণই মূল চাবিকাঠি।

---

প্রশ্ন ১: ২x² + ৫x + ৩ < ০ এর সমাধান কোনটি?

বিকল্প: (ক) −(৩/২) < x < −১ ✓ • (খ) −(৩/২) < x < ১ • (গ) −(৩/২) ≤ x ≤ ১ • (ঘ) −(৩/২) < x ≤ ১

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ	ফলাফল
১	মধ্যপদ ভেঙে উৎপাদক	২x² + ২x + ৩x + ৩ = ২x(x+১) + ৩(x+১)
২	উৎপাদক রূপ	(২x + ৩)(x + ১) < ০
৩	মূল নির্ণয়	x = −৩/২ এবং x = −১
৪	চিহ্ন বিশ্লেষণ	দুই মূলের মধ্যবর্তী অংশে গুণফল ঋণাত্মক
৫	সমাধান	−৩/২ < x < −১

প্রশ্ন ২: |১ − ২x| < ১ এর সমাধান-

বিকল্প: (ক) −২ < x < ১ • (খ) −১ < x < ০ • (গ) ০ < x < ১ ✓ • (ঘ) −১ < x < ১

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ	ফলাফল
১	পরম মান অসমতা খোলা	−১ < ১ − ২x < ১
২	সবদিকে ১ বিয়োগ	−২ < −২x < ০
৩	−২ দিয়ে ভাগ (চিহ্ন উল্টায়)	১ > x > ০
৪	সাজানো	০ < x < ১

মূল সূত্র / ধারণা

দ্বিঘাত অসমতা: (x−a)(x−b) < ০ হলে সমাধান মূলদ্বয়ের মধ্যবর্তী; > ০ হলে মূলদ্বয়ের বাইরে।

পরম মান: |A| < k ⟺ −k < A < k। ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়।

অনুরূপ উদাহরণ

অসমতা	সমাধান
(x−২)(x−৫) < ০	২ < x < ৫
x² − ৪ > ০	x < −২ বা x > ২
|২x − ৩| < ৫	−১ < x < ৪

মনে রাখার কৌশল

• '< ০' মানে 'মধ্যে', '> ০' মানে 'বাইরে' — দুই মূল কল্পনা করে মনে রাখুন।
• পরম মান অসমতায় ঋণাত্মক ভাজক এলে চিহ্ন উল্টানো বাধ্যতামূলক।

সাধারণ ভুল / ফাঁদ

• দ্বিঘাত অসমতায় কঠোর (<) ও নমনীয় (≤) চিহ্ন গুলিয়ে ফেলা — < ০ হলে মূল অন্তর্ভুক্ত নয়।
• −২x-কে −২ দিয়ে ভাগের সময় অসমতার চিহ্ন না উল্টানো।

পরীক্ষার শর্টকাট

• দ্বিঘাত অসমতায় উৎপাদক করে দুই মূল বের করুন, তারপর 'মধ্যে নাকি বাইরে' সিদ্ধান্ত নিন।
• |১ − ২x| = |২x − ১| — পরম মানের ভেতরের চিহ্ন উল্টালেও মান একই।

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

সমীকরণ (সরল ও দ্বিঘাত) — মূল লেকচার শিট — সরল ও দ্বিঘাত সমীকরণ, নির্ণায়ক ও মূলের প্রকৃতি, ভিয়েতার সূত্র, পরম মান সমীকরণ ও অসমতা এবং দ্বিঘাত অসমতার চিহ্ন বিশ্লেষণ সম্পূর্ণভাবে শিখুন।