৩৮তম BCS — বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও উৎপাদক অংশের প্রশ্নসমাধান

এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ১টি প্রশ্ন এসেছিল — অনুবন্ধী করণী ও ঘন সূত্রের প্রয়োগ।

---

প্রশ্ন: x = √৩ + √২ হলে, x³ + ১/x³ এর মান কত?

বিকল্প: (ক) ৩√২ • (খ) ১৮√৩ ✓ • (গ) ১২√৩ • (ঘ) ৮

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ	ফলাফল
১	১/x নির্ণয় (অনুবন্ধী দিয়ে গুণ)	১/(√৩+√২) = (√৩−√২)/((√৩)²−(√২)²) = √৩−√২
২	x + ১/x	(√৩+√২) + (√৩−√২) = ২√৩
৩	সূত্র প্রয়োগ	x³+১/x³ = (x+১/x)³ − ৩(x+১/x)
৪	মান বসানো	(২√৩)³ − ৩(২√৩) = ২৪√৩ − ৬√৩
৫	ফলাফল	১৮√৩

মূল সূত্র / ধারণা

a³ + b³ = (a+b)³ − ৩ab(a+b) → b = ১/x ধরলে ab = ১, তাই x³ + ১/x³ = (x+১/x)³ − ৩(x+১/x)। অনুবন্ধী করণী: ১/(√a+√b) = (√a−√b)/(a−b)।

অনুরূপ উদাহরণ

সমস্যা	সমাধান
x = ২+√৩ হলে x + ১/x	১/x = ২−√৩ → x+১/x = ৪
x + ১/x = ৩ হলে x³+১/x³	৩³ − ৩×৩ = ১৮
x − ১/x = ২ হলে x³−১/x³	২³ + ৩×২ = ১৪

মনে রাখার কৌশল

• x = √a + √b দেখলেই প্রথমে অনুবন্ধী দিয়ে ১/x বের করুন; প্রায়ই ১/x = √a − √b হয়।
• x³+১/x³ = k³ − ৩k এবং x³−১/x³ = k³ + ৩k — দুটি আলাদা রাখুন।

সাধারণ ভুল / ফাঁদ

• ১/x = √৩ + √২ ধরে ফেলা — অনুবন্ধী দিয়ে গুণ না করায় ভুল।
• x³−১/x³-এর সূত্র (k³+৩k) ব্যবহার করা; এখানে যোগফল চাই, তাই k³−৩k।

পরীক্ষার শর্টকাট

• x+১/x = ২√৩ → x³+১/x³ = (২√৩)³ − ৩(২√৩) = ২৪√৩ − ৬√৩ = ১৮√৩।

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও উৎপাদক — মূল লেকচার শিট — ৫০+ বীজগাণিতিক identities, উৎপাদকে বিশ্লেষণ, x±১/x সম্পর্কিত সমস্যা, করণীর যৌক্তিকীকরণ, এবং BCS-frequent শর্টকাট।