৩৮তম BCS — সূচক ও লগারিদম অংশের প্রশ্নসমাধান

এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ২টি প্রশ্ন এসেছিল — লগারিদম থেকে ভিত্তি নির্ণয় ও সূচকীয় সমীকরণ।

---

প্রশ্ন ১: logₓ(১/৮) = −২ হলে x = কত?

বিকল্প: (ক) ২ • (খ) √২ • (গ) ২√২ ✓ • (ঘ) ৪

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ	ফলাফল
১	লগ থেকে সূচক রূপান্তর	logₓ(১/৮) = −২ ⟺ x⁻² = ১/৮
২	x⁻² = ১/x²	১/x² = ১/৮ → x² = ৮
৩	x নির্ণয়	x = √৮ = √(৪×২) = ২√২

---

প্রশ্ন ২: 2ˣ + 2^(১−x) = ৩ হলে x = কত?

বিকল্প: (ক) (১, ২) • (খ) (০, ২) • (গ) (১, ৩) • (ঘ) (০, ১) ✓

ধাপে ধাপে সমাধান

ধাপ	কাজ	ফলাফল
১	প্রতিস্থাপন: 2ˣ = y	2^(১−x) = ২/2ˣ = ২/y
২	সমীকরণ	y + ২/y = ৩
৩	y দিয়ে গুণ	y² − ৩y + ২ = ০
৪	উৎপাদক	(y−১)(y−২) = ০ → y = ১ বা ২
৫	x ফেরত	2ˣ = ১ → x = ০; 2ˣ = ২ → x = ১

মূল সূত্র / ধারণা

logₐ N = c ⟺ aᶜ = N। ঋণাত্মক সূচক: a⁻ⁿ = ১/aⁿ। সূচকীয় সমীকরণে aˣ = y প্রতিস্থাপন করে দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তর করুন।

অনুরূপ উদাহরণ

সমস্যা	সমাধান
logₓ ২৭ = ৩	x³ = ২৭ → x = ৩
log₂ x = −৩	x = ২⁻³ = ১/৮
3ˣ + 3^(১−x) = ৪	y+৩/y=৪ → y=১,৩ → x=০,১

মনে রাখার কৌশল

• logₓ(ভগ্নাংশ) = ঋণাত্মক — ভিত্তি ১-এর বড়, ফল ১-এর ছোট হলে সূচক ঋণাত্মক।
• 2^(১−x) = ২ · 2⁻ˣ = ২/2ˣ — সূচকের নিয়ম মনে রাখলে প্রতিস্থাপন সহজ।

সাধারণ ভুল / ফাঁদ

• x⁻² = ১/৮ থেকে x² = ১/৮ ধরা — আসলে x² = ৮ (উল্টানো)।
• √৮ = ২√২ না লিখে √৮-কেই উত্তর ভাবা; বিকল্পে সরলীকৃত রূপ থাকে।
• 2^(১−x)-কে 2−2ˣ ভাবা (যোগ-বিয়োগের ভুল); এটি ভাগ, ২/2ˣ।

পরীক্ষার শর্টকাট

• logₓ A = n ⟺ xⁿ = A — সঙ্গে সঙ্গে সূচকে নিয়ে আসুন।
• aˣ + a^(c−x) আকারে প্রতিসম সমীকরণ → y + k/y রূপ → দ্বিঘাত।

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

সূচক ও লগারিদম — মূল লেকচার শিট — সূচকের ১২টি নিয়ম, লগারিদমের ১০টি নিয়ম, ভিত্তি বদল, লগ-সমীকরণ সমাধান, এবং BCS-frequent ঘাত-মান তালিকা।