৩১তম BCS — বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও উৎপাদক

এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ৫টি প্রশ্ন — অনুপাত, গ.সা.গু, ভাগশেষ উপপাদ্য, a-1/a সূত্র, ব্যস্তানুপাতিক যোগফল।

---

প্রশ্ন ৮২: যদি Q/P = 1/4 হয়, তবে (P+Q)/(P-Q) এর মান —

উত্তর: 5/3 ✓

শর্টকাট সমাধান

লব-হরকে P দিয়ে ভাগ:

• (P+Q)/(P-Q) = (1 + Q/P)/(1 - Q/P) = (1 + 1/4)/(1 - 1/4) = (5/4)/(3/4) = 5/3

বিকল্প

Q = 1, P = 4 ধরি → (4+1)/(4-1) = 5/3

---

প্রশ্ন ৮৮: (4x² - 16) এবং 6x² + 24x + 24 এর গ.সা.গু —

উত্তর: 2(x + 2) ✓

ধাপে ধাপে

• 4x² - 16 = 4(x² - 4) = 4(x+2)(x-2)
• 6x² + 24x + 24 = 6(x² + 4x + 4) = 6(x+2)²

গ.সা.গু (HCF) বের করুন

• সংখ্যাগত: gcd(4, 6) = 2
• বীজগাণিতিক: (x+2) উভয়েই আছে
• গ.সা.গু = 2(x+2)

---

প্রশ্ন ৮৯: x³ - x² কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে অবশেষ থাকে —

উত্তর: 4 ✓

Remainder Theorem (ভাগশেষ উপপাদ্য)

f(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ = f(a)

প্রয়োগ

• f(x) = x³ - x²
• ভাজক = x - 2 → a = 2
• ভাগশেষ = f(2) = 2³ - 2² = 8 - 4 = 4

---

প্রশ্ন ৯০: যদি a² + 1/a² = 51 হয়, তবে a - 1/a এর মান কত?

উত্তর: ±7 ✓

মূল সূত্র

(a - 1/a)² = a² - 2·a·(1/a) + (1/a)² = a² + 1/a² - 2

প্রয়োগ

• (a - 1/a)² = 51 - 2 = 49
• a - 1/a = ±√49 = ±7

সম্পর্কিত সূত্র — মুখস্থ করুন

সূত্র	বিস্তার
(a + 1/a)²	= a² + 1/a² + 2
(a - 1/a)²	= a² + 1/a² - 2
(a + 1/a)² - (a - 1/a)²	= 4
(a + 1/a)² + (a - 1/a)²	= 2(a² + 1/a²)
(a + 1/a)(a - 1/a)	= a² - 1/a²
a³ + 1/a³	= (a + 1/a)³ - 3(a + 1/a)
a³ - 1/a³	= (a - 1/a)³ + 3(a - 1/a)

---

প্রশ্ন ৯৯: যদি দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 20 এবং 96 হয়, তবে সংখ্যা দুটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল কত হবে?

উত্তর: 5/24 ✓

সূত্র

1/a + 1/b = (a + b)/(ab) = (যোগফল)/(গুণফল)

প্রয়োগ

• a + b = 20, ab = 96
• 1/a + 1/b = 20/96 = 5/24

সম্পর্কিত সূত্র

পরিমাপ	সূত্র
1/a + 1/b	(a+b)/(ab)
1/a - 1/b	(b-a)/(ab)
1/a² + 1/b²	(a² + b²)/(a²b²)
1/a² × 1/b²	1/(a²b²)

---

মৌলিক বীজগাণিতিক সূত্র — মুখস্থ রাখুন

Class I সূত্র

সূত্র	বিস্তার
(a + b)²	a² + 2ab + b²
(a - b)²	a² - 2ab + b²
a² - b²	(a + b)(a - b)
(a + b)³	a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³	a³ - 3a²b + 3ab² - b³
a³ + b³	(a + b)(a² - ab + b²)
a³ - b³	(a - b)(a² + ab + b²)
(a + b + c)²	a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
a³ + b³ + c³ - 3abc	(a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

পরীক্ষার শর্টকাট

• a² + 1/a² থেকে a ± 1/a — দ্রুত মুখস্থ রাখুন
• Remainder Theorem — f(a) সরাসরি ভাগশেষ
• a + b ও ab দেওয়া থাকলে — সব ধরনের 1/a, 1/a² ইত্যাদি দ্রুত

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও উৎপাদক — মূল লেকচার শিট — ৩০+ মৌলিক বীজগাণিতিক সূত্র, উৎপাদকে বিশ্লেষণের ৫টি কৌশল, গ.সা.গু-ল.সা.গু (বীজগাণিতিক), ভাগশেষ ও উপপাদ্য, x + 1/x সিরিজের সকল সূত্র, প্রতিসম সমীকরণ।