৩১তম BCS — সূচক ও লগারিদম

এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ২টি প্রশ্ন — লগ-এর মান নির্ণয় ও সূচকের গণনা।

---

প্রশ্ন ৮৬: log₂(1/32) এর মান —

উত্তর: -5 ✓

এক লাইনে

log₂(1/32) = log₂(2⁻⁵) = -5 (কারণ 2⁵ = 32, তাই 1/32 = 2⁻⁵)

ধাপে ধাপে

1. 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵
2. 1/32 = 1/2⁵ = 2⁻⁵
3. log₂(2⁻⁵) = -5 × log₂(2) = -5 × 1 = -5

---

প্রশ্ন ৯৮: যদি (64)^(2/3) + (625)^(1/2) = 3k হয়, তবে k এর মান —

উত্তর: 13 2/3 ✓

ধাপে ধাপে

1. (64)^(2/3) = (4³)^(2/3) = 4^(3 × 2/3) = 4² = 16
2. (625)^(1/2) = √625 = 25
3. 16 + 25 = 41 = 3k
4. k = 41/3 = 13 + 2/3 = 13⅔

---

সূচকের সূত্র — মুখস্থ রাখুন

সূত্র	উদাহরণ
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	2³ × 2² = 2⁵ = 32
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	(2³)² = 2⁶ = 64
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ	(2×3)² = 4×9 = 36
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ	(4/2)³ = 64/8 = 8
a⁰ = 1	5⁰ = 1
a⁻ⁿ = 1/aⁿ	2⁻³ = 1/8
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)	8^(2/3) = ³√64 = 4
a^(1/n) = ⁿ√a	8^(1/3) = 2

লগারিদমের সূত্র — মুখস্থ রাখুন

সূত্র	উদাহরণ
log_a(MN) = log_a M + log_a N	$$log_2(8) = log_2(2×4) = log_2 2 + log_2 4 = 1 + 2 = 3$$
log_a(M/N) = log_a M - log_a N	$$log_2(8/2) = 3 - 1 = 2$$
log_a(M^n) = n·log_a M	log_2(2³) = 3·log_2 2 = 3
log_a a = 1	$$log_2 2 = 1$$
log_a 1 = 0	$$log_5 1 = 0$$
log_a M = log_b M / log_b a	(Change of base)
log₁₀ X = log X	দশকীয় লগারিদম
log_e X = ln X	স্বাভাবিক লগারিদম (e ≈ 2.718)

লগ-এর জন্য কিছু গুরুত্বপূর্ণ মান

মান	লগ_১০
log 1	0
log 10	1
log 100	2
log 1000	3
log 2	0.3010
log 3	0.4771
log 5	0.6990
log 7	0.8451

সূচক ও লগের পরীক্ষার শর্টকাট

• a^(m/n) প্যাটার্ন — m কে আগে বসিয়ে n দিয়ে রুট নিন (যেমন 64^(2/3): 64 → ³√64 = 4 → 4² = 16)
• লগ-এ ভগ্নাংশ ছোট হলে — মান ঋণাত্মক
• মৌলিক সংখ্যা দেখলে — সূচকে রূপান্তর করুন (32 = 2⁵, 64 = 2⁶, 81 = 3⁴, ইত্যাদি)

প্রচলিত মৌলিক সংখ্যা ও তাদের সূচক

সংখ্যা	সূচক
4	2²
8	2³
16	2⁴
32	2⁵
64	2⁶
128	2⁷
256	2⁸
9	3²
27	3³
81	3⁴
243	3⁵
25	5²
125	5³
625	5⁴
49	7²
343	7³

---

টপিকটি গভীরে শিখুন

সূচক ও লগারিদম — মূল লেকচার শিট — সূচকের ১০+ মৌলিক সূত্র, লগারিদমের ৭+ সূত্র, ভগ্নাংশীয় সূচক, ঋণাত্মক সূচক, characteristic ও mantissa, antilog, লগারিদম সারণি, প্রাকৃতিক লগারিদম, লগ ও সূচকের সমীকরণ।