৩১তম BCS — সমীকরণ (সরল ও দ্বিঘাত)
এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ৪টি প্রশ্ন — দুই-চলক সরল সমীকরণ, সমীকরণের মূল, ফাংশনের মান, দ্বিঘাত সমীকরণ।
প্রশ্ন ৯১: 3x - 7y + 10 = 0 এবং y - 2x - 3 = 0 এর সমাধান —
উত্তর: x = -1, y = 1 ✓
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে y = 2x + 3।
প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন:
- 3x - 7(2x + 3) + 10 = 0
- 3x - 14x - 21 + 10 = 0
- -11x - 11 = 0
- x = -1
তারপর y = 2(-1) + 3 = 1
সমাধান যাচাই
- 3(-1) - 7(1) + 10 = -3 - 7 + 10 = 0 ✓
- (1) - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 ✓
প্রশ্ন ৯২: যদি a + b = 2, ab = 1 হয়, তবে a এবং b এর মান যথাক্রমে —
উত্তর: 1, 1 ✓
দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি
a ও b হলো x² - (a+b)x + ab = 0 -এর মূল।
- x² - 2x + 1 = 0
- (x - 1)² = 0
- x = 1 (দ্বিগুণ মূল)
তাই a = b = 1
প্রশ্ন ৯৪: f(x) = x³ - 2x + 10 হলে f(0) = কত?
উত্তর: 10 ✓
সরাসরি প্রতিস্থাপন
f(0) = 0³ - 2(0) + 10 = 0 - 0 + 10 = 10
ফাংশনের মৌলিক ধারণা
- f(x) = একটি ফাংশন; x হলো input, f(x) হলো output
- f(a) = a-কে x-এর জায়গায় বসিয়ে output
- f(0) সাধারণত ধ্রুবক পদ পাওয়ায় সহজ
প্রশ্ন ৯৬: দুটি সংখ্যার যোগফল 48 এবং তাদের গুণফল 432, তবে বড় সংখ্যাটি কত?
উত্তর: 36 ✓
দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন
সংখ্যা দুটি a ও b হলে:
- a + b = 48
- ab = 432
- a ও b হলো: x² - 48x + 432 = 0 -এর মূল
সমাধান (দ্বিঘাত সূত্র)
x = [48 ± √(48² - 4·432)] / 2
= [48 ± √(2304 - 1728)] / 2
= [48 ± √576] / 2
= [48 ± 24] / 2
= 36 বা 12
বড় সংখ্যা = 36 (ছোট সংখ্যা = 12)
যাচাই: 36 + 12 = 48 ✓, 36 × 12 = 432 ✓
সরল সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি
দুই-চলক সমীকরণ
১. প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution)
- এক চলককে অপরটিতে প্রকাশ → অন্য সমীকরণে বসিয়ে
২. অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination)
- দুই সমীকরণকে গুণ/ভাগ করে একটি চলক বিদায়
৩. ক্রস-গুণন পদ্ধতি (Cross-multiplication)
- a₁x + b₁y + c₁ = 0
- a₂x + b₂y + c₂ = 0
- x/(b₁c₂ - b₂c₁) = y/(c₁a₂ - c₂a₁) = 1/(a₁b₂ - a₂b₁)
দ্বিঘাত সমীকরণ
সাধারণ রূপ: ax² + bx + c = 0
দ্বিঘাত সূত্র
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
Discriminant (D = b² - 4ac)
| D-এর মান |
মূলের প্রকৃতি |
| D > 0 |
দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল |
| D = 0 |
দুটি সমান বাস্তব মূল |
| D < 0 |
কোনো বাস্তব মূল নেই (জটিল) |
মূল ও সহগের সম্পর্ক
ax² + bx + c = 0-এর মূল α, β হলে:
পরীক্ষার শর্টকাট
- a + b ও ab দেওয়া থাকলে — সরাসরি দ্বিঘাত সমীকরণ লিখুন (x² - sx + p = 0)
- f(0) পেতে — শুধু ধ্রুবক পদ
- মূল উপপাদ্য — দ্বিঘাত সূত্র মুখস্থ
টপিকটি গভীরে শিখুন
সমীকরণ — মূল লেকচার শিট — সরল-একচলক সমীকরণ, দুই-তিন চলক সমীকরণ ব্যবস্থা, দ্বিঘাত সমীকরণ ও মূলের প্রকৃতি, ভিয়েতার সূত্র, গ্রাফ-পদ্ধতি, কোয়াড্রাটিক ইনইকোয়ালিটি, ফাংশন ও তাঁদের গ্রাফ, ম্যাট্রিক্স ও Cramer-এর নিয়ম।