৩১তম BCS — সংখ্যা ধারা ও প্যাটার্ন
এই পরীক্ষায় এই টপিক থেকে ১টি প্রশ্ন — বর্গ-সিরিজের যোগফলের সূত্র।
প্রশ্ন ৯৩: 1² + 2² + 3² + ... + x² এর মান কত?
উত্তর: x(x+1)(2x+1)/6 ✓
এক লাইনে
প্রথম x টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল = x(x+1)(2x+1)/6
যাচাই (x = 3):
- বামপক্ষ: 1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14
- ডানপক্ষ: 3 × 4 × 7 / 6 = 84/6 = 14 ✓
সিরিজের যোগফল — মুখস্থ রাখুন
| সিরিজ |
যোগফলের সূত্র |
| 1 + 2 + 3 + ... + n |
n(n+1)/2 |
| 1² + 2² + 3² + ... + n² |
n(n+1)(2n+1)/6 |
| 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ |
{n(n+1)/2}² |
| 1 + 3 + 5 + ... (n বিজোড় পদ) |
n² |
| 2 + 4 + 6 + ... + 2n |
n(n+1) |
| 1² + 3² + 5² + ... (n বিজোড় পদ) |
n(2n-1)(2n+1)/3 |
| 2² + 4² + 6² + ... (n জোড় পদ) |
2n(n+1)(2n+1)/3 |
সিরিজের ৩ প্রধান প্রকার
১. সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression — AP)
- প্রতি পদের পার্থক্য একই (d)
- nth পদ: aₙ = a + (n-1)d
- যোগফল: Sₙ = n/2 × [2a + (n-1)d] = n/2 × (a + aₙ)
২. গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression — GP)
- প্রতি পদের অনুপাত একই (r)
- nth পদ: aₙ = a·r^(n-1)
- যোগফল (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
- অসীম যোগফল (|r| < 1): S∞ = a/(1-r)
৩. হরাত্মক ধারা (Harmonic Progression — HP)
- ব্যস্তসংখ্যা AP
- উদাহরণ: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
সাম্য মাধ্যম-গাণিতিক মাধ্যম সম্পর্ক
ধনাত্মক সংখ্যা a, b-এর জন্য:
- AM (গাণিতিক) = (a+b)/2
- GM (গুণোত্তর) = √(ab)
- HM (হরাত্মক) = 2ab/(a+b)
- AM ≥ GM ≥ HM (সর্বদা)
পরীক্ষার শর্টকাট
- বর্গের যোগফল = n(n+1)(2n+1)/6 — মুখস্থ রাখুন
- সাধারণ যোগ = n(n+1)/2 — গাউসের সূত্র
- জটিল প্যাটার্নে — প্রথম দু-তিনটি পদ লিখে অংশ গণনা যাচাই
সিরিজের উদাহরণ
প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ... + 100 = ?
উত্তর: 100 × 101 / 2 = 5050 (গাউসের ৭ বছর বয়সে সমাধান!)
প্রশ্ন: 1² + 2² + ... + 10² = ?
উত্তর: 10 × 11 × 21 / 6 = 2310/6 = 385
প্রশ্ন: 1³ + 2³ + ... + 10³ = ?
উত্তর: (10 × 11 / 2)² = 55² = 3025
টপিকটি গভীরে শিখুন
সংখ্যা ধারা ও প্যাটার্ন — মূল লেকচার শিট — সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা, ৭+ সিরিজের সূত্র, সিরিজের অনুপস্থিত পদ নির্ণয়, সাম্য মাধ্যম-গাণিতিক মাধ্যম-হরাত্মক মাধ্যম-এর সম্পর্ক, ফিবোনাচ্চি সিরিজ, প্যাটার্ন রিকগনিশন।