বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াডের (BdMO) জুনিয়র ক্যাটাগরির আগের বছরের সব সমস্যার বাংলায় ধাপে ধাপে সমাধান — চিত্রসহ, বিকল্প পদ্ধতিসহ। প্রতিটি টপিকে লেকচার শিট, সমাধান শিট, নোট আর অনুশীলনের MCQ; শেষে আসল প্রশ্নপত্রের আদলে মডেল টেস্ট। লক্ষ্য: পরের অলিম্পিয়াডে নতুন সমস্যা দেখেও কৌশল চিনে নিজে সমাধান করা।
🎓 BanglaTech-এর 2784+ নিবন্ধিত শিক্ষার্থীর কমিউনিটিতে যোগ দিন
## এই লেকচারে কী শিখবে "এই সংখ্যাটি কি $11$ দিয়ে বিভাজ্য?", "অজানা অঙ্ক $a$ আর $b$ কত?" — BdMO জুনিয়রে প্রায় প্রতি বছর এমন প্রশ্ন আসে, আর ভেতরে একটাই ভাবনা ক…
## এই লেকচারে কী শিখবে অলিম্পিয়াডে গসাগু-লসাগুর প্রশ্ন আসে ঘুরিয়ে — সাধারণ উৎপাদক গোনা, সীমার নিচে গুণিতক, সর্বনিম্ন যোগফল, এমনকি গসাগু নিজেই সমীকরণের চলক। আম…
## এই লেকচারে কী শিখবে সংখ্যাতত্ত্বের সবচেয়ে মৌলিক ইট হলো **মৌলিক সংখ্যা**। $1$-এর চেয়ে বড় প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা মৌলিকের গুণফল দিয়ে তৈরি। BdMO জুনিয়রে প্রায়…
নিচের প্রশ্নগুলো উত্তর ও ব্যাখ্যাসহ দেওয়া হলো। সম্পূর্ণ প্রশ্নব্যাংক, টাইমড মডেল টেস্ট ও প্রগ্রেস ট্র্যাকিং পেতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করুন।
সমস্যা ১ · BdMO ২০২৬ আঞ্চলিক — সিলেট
একটি কলম, দুইটি রাবার ও তিনটি খাতার মোট দাম টাকা। তিনটি কলম, একটি রাবার ও দুইটি খাতার মোট দাম টাকা। দুইটি কলম, তিনটি রাবার ও একটি খাতার মোট দাম টাকা। একটি কলমের দাম কত টাকা?
তিনটি সমীকরণ যোগ করলে প্রতিটি জিনিস বার আসে: , তাই । দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে একসেট বাদ দিলে , তৃতীয় থেকে । এগুলো মিলিয়ে , , ।
হলো তিন জিনিসের মোট দাম, কলমের নয়; রাবারের আর খাতার দাম।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: «সমীকরণ ও সমীকরণজোট» টপিকের সমাধান পর্ব ২, সমস্যা ৬।
বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড (BdMO) জুনিয়র ক্যাটাগরির ২০২৩, ২০২৪ ও ২০২৬ সালের আঞ্চলিক, নির্বাচনী ও জাতীয় পর্বের প্রশ্ন ও সমাধান এক জায়গায়, বাংলায়।
৬ষ্ঠ–৮ম শ্রেণির শিক্ষার্থী, যারা বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াডের (BdMO) জুনিয়র ক্যাটাগরিতে অংশ নেবেন।
লেকচার শিট পড়ুন → সমাধান পর্বে আগে নিজে চেষ্টা করুন → অনুশীলন কুইজ দিন → শেষে কুইজ ট্যাবে মডেল টেস্ট দিন।
## এই লেকচারে কী শিখবে এই টপিকের প্রশ্নগুলো দেখতে আলাদা আলাদা: সংখ্যার ধারা, বর্ণ-সংখ্যা ধাঁধা, ছবির প্যাটার্ন, খামারের গল্প, গোল টেবিল, ক্যালেন্ডার, নামের সংকে…
টি ক্রমিক মৌলিক সংখ্যার যোগফল । তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড় ও সবচেয়ে ছোট সংখ্যা দুটির যোগফল কত?
না থাকলে টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল বিজোড় হতো, কিন্তু জোড়। তাই আছে, তালিকা (যোগফল )। উত্তর ।
শুধু বড় সংখ্যাটি; আসে টি মৌলিক নিয়ে করলে; আসে থেকে শুরু করলে (), যার যোগফল ।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
পরপর টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল । এদের মধ্যে বৃহত্তম থেকে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে কত হয়?
থাকলে বাকি টি বিজোড়ের যোগফল জোড়, মোট জোড় হতো; কিন্তু বিজোড়। তাই নেই, তালিকা (যোগফল )। উত্তর ।
আসে জোর করে থেকে শুরু করলে (, অথচ সেই যোগফল ); শুধু বৃহত্তম; হলো বিয়োগের বদলে যোগ।
ছয়টি ক্রমিক মৌলিক সংখ্যা যোগ করে পাওয়া গেল । সবচেয়ে ছোট ও সবচেয়ে বড় সংখ্যার যোগফল নির্ণয় করো।
টি বিজোড়ের যোগফল জোড় হয়, কিন্তু বিজোড় — তাই আছে। তালিকা , যোগফল । উত্তর ।
শুধু বড়টি; আসে একটা বেশি মৌলিক নিয়ে (); আসে থেকে শুরু করলে ()।
থেকে -এর মধ্যে কতগুলো সংখ্যার ঠিক টি উৎপাদক আছে?
ঠিক দুটি উৎপাদক ( ও সংখ্যাটি নিজে) থাকে শুধু মৌলিক সংখ্যার। পর্যন্ত মৌলিক: — মোট টি।
আসে -কে গুনলে (অথচ -এর উৎপাদক একটি); আসে -কে বাদ দিলে; আসে -এর মতো বিজোড় যৌগিক গুনে ফেললে।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
থেকে পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ঠিক দুটি ভাজক আছে এমন সংখ্যা কয়টি?
ঠিক দুটি ভাজক মানে মৌলিক। পর্যন্ত মৌলিক: পর্যন্ত টি, তারপর — মোট টি।
আসে গুনলে; আসে বাদ দিলে; হলো বিজোড় সংখ্যার সংখ্যা — বিজোড় মানেই মৌলিক নয়।
থেকে -এর মধ্যে কোন কোন সংখ্যার ঠিক তিনটি উৎপাদক আছে? এমন সংখ্যা কয়টি?
উৎপাদক ঠিক তিনটি হলে সংখ্যাটি একটি মৌলিকের বর্গ (উৎপাদক )। পর্যন্ত: — মোট টি।
আসে সব পূর্ণবর্গ () গুনলে, কিন্তু -এর উৎপাদক পাঁচটি, -এর একটি; আসে এদের একটি ভুল করে রাখলে; হলো মৌলিকের সংখ্যা।
কোনো সংখ্যার উৎপাদকগুলোর যোগফল সংখ্যাটির চেয়ে বেশি হলে তাকে (এই প্রশ্নে) নিখুঁত সংখ্যা বলা হয়। থেকে পর্যন্ত এমন কয়টি নিখুঁত সংখ্যা আছে?
ও সবসময় উৎপাদক, তাদের যোগফল । তাই যোগফল ঠিক মানে আর কোনো উৎপাদক নেই, অর্থাৎ মৌলিক। পর্যন্ত মৌলিক টি।
হলো প্রচলিত নিখুঁত সংখ্যা () — প্রশ্নের সংজ্ঞা আলাদা; আসে গুনলে (যোগফল ); আসে বাদ দিলে।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
যে সংখ্যার সব উৎপাদকের যোগফল সংখ্যাটির চেয়ে ঠিক বেশি, থেকে -এর মধ্যে এমন সংখ্যা কতগুলো?
শর্তটি মানে সংখ্যাটি মৌলিক। পর্যন্ত মৌলিক: পর্যন্ত টি, তারপর — মোট টি।
আসে গুনলে; আসে বাদ দিলে; হলো বিজোড় সংখ্যার সংখ্যা — বিজোড় মানেই মৌলিক নয়।
থেকে -এর মধ্যে কতগুলো পূর্ণবর্গ সংখ্যা আছে, যার সব উৎপাদকের যোগফল ?
, ও সবসময় উৎপাদক; যোগফল ঠিক এটুকু হলে আর কোনো উৎপাদক নেই, তাই মৌলিক। — মোট টি।
হলো সব পূর্ণবর্গ, কিন্তু -এর উৎপাদক ; আসে ভুলে গেলে; হলো মৌলিকের সংখ্যা।
তিনটি ভিন্ন মৌলিক সংখ্যার গুণফল । এদের মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?
, আর । তাই , সবচেয়ে বড় মৌলিক ।
আসে মাঝপথে থামলে ( মৌলিক নয়); মৌলিক নয়; মাঝের সংখ্যা, সবচেয়ে বড় নয়।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
তিনটি আলাদা মৌলিক সংখ্যা গুণ করে পাওয়া গেল । এদের বৃহত্তমটি কোনটি?
শেষ অঙ্ক , তাই । । তাই , বৃহত্তম ।
মৌলিক নয় — মাঝপথে থামার ভুল; মৌলিক নয়; বৃহত্তম নয়।
তিনটি ভিন্ন মৌলিক সংখ্যার গুণফল হলে সংখ্যা তিনটির যোগফল কত?
, আর -এ , তাই । সংখ্যা তিনটি , যোগফল ।
মৌলিক নয়; আসে ভুলে গেলে (); আসে নিয়ে বাদ দিলে।
— এই চারটি সংখ্যার মধ্যে কোনটি মৌলিক?
-এর উৎপাদক শুধু ও , তাই এটি মৌলিক — একমাত্র জোড় মৌলিক।
, , — তিনটিই যৌগিক। বিজোড় হলেই মৌলিক হয় না।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
নিচের কোন সংখ্যাটি মৌলিক: ?
-কে (বর্গমূল প্রায় পর্যন্ত) কেউ ভাগ করে না, তাই এটি মৌলিক।
-এর উৎপাদক একটিই, তাই মৌলিক নয়; ; -এর অঙ্কের যোগফল , তাই ।
, , ও — এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কোনটি?
-এর বর্গমূল -এর কম; কেউ -কে ভাগ করে না, তাই মৌলিক।
ও (অঙ্কের যোগফল -এর গুণিতক); — দেখতে মৌলিক মনে হলেও যৌগিক।
দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল । সংখ্যা দুটির গুণফল কত?
দুটি বিজোড়ের যোগফল জোড়, কিন্তু বিজোড় — তাই একটি সংখ্যা । অন্যটি , গুণফল ।
আসে নিলে ( মৌলিক নয়); আসে নিলে ( মৌলিক নয়); শুধু অন্য সংখ্যাটি, গুণফল নয়।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
দুটি মৌলিক সংখ্যা যোগ করলে হয়। সংখ্যা দুটি গুণ করলে কত হবে?
বিজোড়, তাই একটি সংখ্যা জোড় মৌলিক ; অন্যটি , যা মৌলিক। গুণফল ।
শুধু অন্য সংখ্যাটি; আসে নিলে; আসে করলে — মৌলিক নয়।
দুটি মৌলিক সংখ্যার অন্তর (বড় থেকে ছোট বিয়োগ) । সংখ্যা দুটির গুণফল কত?
দুটি বিজোড়ের অন্তর জোড় হয়, কিন্তু বিজোড় — তাই ছোট সংখ্যাটি , বড়টি (মৌলিক)। গুণফল ।
শুধু বড় সংখ্যাটি; আসে করলে ( মৌলিক নয়); আসে নিলে, যার অন্তর ।
তিন ভাই আকিব, সাকিব ও রাকিবের প্রত্যেকের বয়স একটি মৌলিক সংখ্যা এবং তিনজনের বয়সের যোগফল জোড়। সবচেয়ে বড় ভাই রাকিবের বয়সের অঙ্কগুলোর যোগফল । তিন ভাইয়ের বয়সের গুণফল সর্বোচ্চ কত হতে পারে? (রাকিব অন্য দুজনের চেয়ে বয়সে বড়, আর তিনজনের বয়সই বছরের কম।)
রাকিবের বয়স (অঙ্কের যোগফল , মৌলিক, আর হলে সে বড় ভাই হতে পারে না)। তিনটি বিজোড়ের যোগফল বিজোড়, তাই একজনের বয়স । তৃতীয় জন -এর ছোট বৃহত্তম মৌলিক : ।
-এ যোগফল , বিজোড়; -এ বছরের ভাইকে গুণ করা বাদ পড়েছে; আসে রাকিবকে বছরের ধরলে।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
তিন বোনের বয়স মৌলিক সংখ্যা, সবার বয়স -এর কম, আর তিনজনের বয়সের যোগফল জোড়। সবচেয়ে বড় বোনের বয়সের অঙ্কগুলোর যোগফল এবং সে বাকি দুজনের চেয়ে বড়। তিনজনের বয়সের গুণফল সর্বোচ্চ কত?
-এর কম, অঙ্কের যোগফল , মৌলিক: শুধু । যোগফল জোড় হতে একজনের বয়স ; তৃতীয় জন -এর ছোট বৃহত্তম মৌলিক : ।
-এ যোগফল বিজোড়; -এ একজন বড় বোনের সমান বয়সী; -এ বয়স -এর সীমা ভাঙে।
তিন বন্ধুর বয়স তিনটি ভিন্ন মৌলিক সংখ্যা এবং বয়সের যোগফল বিজোড়। সবচেয়ে বড় জনের বয়স দুই অঙ্কের, আর তার অঙ্কগুলোর যোগফল । তিনজনের বয়সের গুণফল সর্বোচ্চ কত?
বড় জনের বয়স । যোগফল বিজোড় হতে -এর সংখ্যা জোড় হতে হবে — দুজন বছরের হতে পারে না (বয়স ভিন্ন), তাই কেউই নয়: সবাই বিজোড় মৌলিক। -এর ছোট দুটি ভিন্ন বৃহত্তম বিজোড় মৌলিক ও : ।
আসে যোগফল জোড় ধরলে; -এ বয়স ভিন্ন নয়; -এ বড় জনকে ধরা হয়েছে।
একটি তিন অঙ্কের সংখ্যা যার অঙ্ক , , । ও ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা, , এবং । সংখ্যাটির মোট কয়টি উৎপাদক আছে?
ক্রমিক বিজোড় , -এর যোগফল (কারণ দিলে জোড়), তাই ও । অঙ্ক, তাই , , : সংখ্যা , উৎপাদক টি।
আসে ঘাত গুণ করলে ( যোগ না করে); আসে গুণের বদলে যোগ করলে; হলো মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
একটি তিন অঙ্কের সংখ্যার শতক ও দশক স্থানের অঙ্ক ও দুটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা, , আর । একক স্থানের অঙ্ক । সংখ্যাটির কয়টি উৎপাদক আছে?
ক্রমিক জোড় , -এর যোগফল ; এটি (, জোড়) বা (, বিজোড় — বাদ)। তাই , , একক অঙ্ক : সংখ্যা , উৎপাদক টি।
হলো মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা; আসে গুণের বদলে যোগ করলে; আসে -কে মৌলিক না ধরে ভুলভাবে ভাঙলে।
একটি তিন অঙ্কের সংখ্যা। ও ক্রমিক বিজোড় অঙ্ক, , এবং । -এর উৎপাদক কয়টি?
ক্রমিক বিজোড়ের যোগফল -এর গুণিতক, তাই : , , । সংখ্যা , উৎপাদক টি।
আসে ঘাত গুণ করলে (); আসে গুণের বদলে যোগ করলে; হলো মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা ()।
জুপিটারে সংখ্যা পদ্ধতি পৃথিবীর মতোই, শুধু সেখানে এবং -কেও মৌলিক সংখ্যা ধরা হয়। থেকে -এর মধ্যে কতগুলো সংখ্যার জুপিটারে মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা পৃথিবীর চেয়ে ঠিক বেশি? (মৌলিক উৎপাদক মানে যেসব ভাজক মৌলিক; প্রতিটি একবার গোনা হয়।)
জুপিটারে বাড়তি উৎপাদক আসে শুধু ও থেকে, তাই সংখ্যাটিকে ঠিক একটি দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। -এর গুণিতক টি, -এর টি, দুটোরই () টি: ।
আসে -কেও গুনলে (তার বাড়তি উৎপাদক টি); আসে -কে দুবার গুনলে; আসে শুধু -এর গুণিতক গুনলে।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
মঙ্গল গ্রহে ও -কেও মৌলিক সংখ্যা ধরা হয়, বাকি সব পৃথিবীর মতো। থেকে -এর মধ্যে কতগুলো সংখ্যার মঙ্গলে মৌলিক উৎপাদক পৃথিবীর চেয়ে ঠিক একটি বেশি? (যেসব ভাজক মৌলিক, সেগুলোর প্রতিটি একবার গুনবে।)
-এর গুণিতক টি, -এর গুণিতক টি (), দুটোরই (লসাগু ) টি। ঠিক একটি দিয়ে বিভাজ্য: ।
হলো "অন্তত একটি"-র সংখ্যা (-এর বাড়তি উৎপাদক টি); সাধারণ গুণিতক দুবার গুনলে; হলো শুধু ।
এক দেশে ও -কেও মৌলিক ধরা হয়। থেকে -এর মধ্যে কতগুলো সংখ্যার সেখানে মৌলিক উৎপাদক সাধারণ নিয়মের চেয়ে ঠিক টি বেশি? (যেসব ভাজক মৌলিক, সেগুলোর প্রতিটি একবার গুনবে।)
-এর গুণিতক টি, -এর গুণিতক টি, দুটোরই (লসাগু ) শুধু । ঠিক একটি: ।
আসে -কে গুনলে; আসে শুধু যোগ করলে; হলো শুধু -এর গুণিতকের সংখ্যা।
সেট -এর উপাদানগুলো হলো সেইসব পূর্ণসংখ্যা যাদের পরমমান এক অঙ্কের মৌলিক সংখ্যা। এবং একটি মৌলিক সংখ্যা হলে -এর সর্বোচ্চ মান কত?
। মানগুলো: , , , , , , । মৌলিক মান ; সর্বোচ্চ ।
মৌলিক নয় (-এর গুণিতক); ও মৌলিক হলেও সর্বোচ্চ নয়।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
যেসব পূর্ণসংখ্যার পরমমান বা , শুধু সেগুলোর জন্য হিসাব করা হলো। এর যতগুলো মান মৌলিক, তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড়টি কত?
: (মৌলিক নয়), (মৌলিক), , । তাই মৌলিক মানগুলোর মধ্যে বৃহত্তম ।
সবচেয়ে বড় মান হলেও যৌগিক; ও মৌলিক কিন্তু ছোট — ঋণাত্মক বাদ দিলে আসে।
এমন পূর্ণসংখ্যা যার পরমমান এক অঙ্কের একটি মৌলিক সংখ্যা। মৌলিক হলে এর সবচেয়ে বড় সম্ভাব্য মান কত?
, , — তিনটিই যৌগিক। পরের বড় মান , যা মৌলিক। তাই উত্তর ।
, , — মৌলিকতা না দেখে সবচেয়ে বড় মান নিলে এগুলো আসে।
(অর্থাৎ )-এর বৃহত্তম মৌলিক উৎপাদক কত?
মৌলিক হলে ভাগ করে ঠিক যখন । তাই খুঁজতে হবে -এর সমান বা ছোট বৃহত্তম মৌলিক। , , , আর জোড়গুলো বাদ; -কে পর্যন্ত কোনো মৌলিক ভাগ করে না, তাই উত্তর ।
ও বিজোড় হলেও মৌলিক নয়; হলো -এর বৃহত্তম মৌলিক উৎপাদক, -এর নয়।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড়টি কোনটি?
-এর সমান বা ছোট বৃহত্তম মৌলিক খুঁজি। জোড়; ; -কে পর্যন্ত কোনো মৌলিক ভাগ করে না (, ), তাই মৌলিক।
মৌলিক নয়; মৌলিক হলেও বৃহত্তম নয়; হলো -এর উৎপাদক।
কোন বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা -এর জন্য সংখ্যাটি -কে নিঃশেষে ভাগ করে?
ভাগ করতে হলে থেকে -এর মধ্যে -এর অন্তত দুটি গুণিতক ( ও ) লাগবে, অর্থাৎ , । -এর নিচে বৃহত্তম মৌলিক ( ও দুটোই আছে)।
মাত্র একবার আসে, তাই ভাগ করে না; মৌলিক নয়; কাজ করে কিন্তু বৃহত্তম নয়।
সবথেকে ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা কোনটি, যার ভাজক (উৎপাদক) সংখ্যা -এর ভাজক সংখ্যার সমান?
, তাই । টি ভাজকের সংখ্যার আকার , বা ; সবচেয়ে ছোট উদাহরণ যথাক্রমে , , । ক্ষুদ্রতম ।
আসে -এর তিন-মৌলিক ধাঁচ নকল করলে; -এ বড় ঘাত ভুল মৌলিকে; শুধু একটি ধাঁচ দেখলে।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
কোন ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ভাজকের সংখ্যা -এর ভাজকের সংখ্যার সমান?
, তাই ভাজক টি। টি ভাজকের ধাঁচগুলোর সবচেয়ে ছোট উদাহরণ: , , , । ক্ষুদ্রতম ।
বাকি তিনটিরও টি ভাজক আছে, কিন্তু তারা -এর চেয়ে বড়।
-এর যতগুলো ভাজক আছে, ঠিক ততগুলো ভাজক আছে এমন সবচেয়ে ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা কত?
, ভাজক টি। বা , তাই আকার বা । সবচেয়ে ছোট: ।
-এ বড় ঘাত বড় মৌলিকে; নিজেই একই ধাঁচ কিন্তু বড় মৌলিক; অন্য ধাঁচ।
সংখ্যাটির কতগুলো উৎপাদক পূর্ণ ঘন সংখ্যা?
ঘন ভাজক -এ প্রতিটি ঘাত -এর গুণিতক: হতে পারে (টি), হতে পারে (টি), হতে পারে (টি)। মোট ।
আসে ঘাত বাদ দিলে; হলো পূর্ণ বর্গ ভাজকের সংখ্যা; হলো মোট ভাজকের সংখ্যা।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
-এর কয়টি ভাজক পূর্ণ ঘন?
-এর ঘাত (টি), -এর (টি), -এর (টি)। মোট ।
আসে ঘাত ভুলে গেলে; পূর্ণ বর্গ ভাজকের সংখ্যা; মোট ভাজক।
-এর কয়টি ভাজক একই সঙ্গে পূর্ণ বর্গ ও পূর্ণ ঘন?
বর্গ ও ঘন দুটোই হতে হলে প্রতিটি ঘাত -এর গুণিতক: -এর (টি), -এর (টি), -এর (টি)। মোট ।
আসে ঘাত বাদ দিলে; শুধু ঘন ভাজক; শুধু বর্গ ভাজক।
, , হলো থেকে -এর মধ্যে তিনটি ভিন্ন পূর্ণসংখ্যা, যেন জোড় সংখ্যা হয়। -এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান কত?
আর -এর জোড়-বিজোড় একই, তাই শর্তটা হলো জোড়। সবচেয়ে বড় বিজোড়; জোড় ও সম্ভব।
শর্ত ভাঙে; বিজোড়; আসে তিনটিই জোড় নিলে, অথচ দুটি বিজোড় ও একটি জোড় নিয়ে বড় মান পাওয়া যায়।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
থেকে -এর মধ্যে তিনটি ভিন্ন পূর্ণসংখ্যা , , এমন যে বিজোড়। সর্বোচ্চ কত হতে পারে?
ঘাতের জোড়-বিজোড় ভিত্তির মতো, তাই বিজোড় হতে হবে। নিজেই বিজোড়, তাই কোনো ছাড় লাগে না।
আসে অভ্যাসবশে কমালে; তিনটিই জোড় নিলে; অকারণে কমালে।
থেকে পর্যন্ত সংখ্যা থেকে তিনটি ভিন্ন সংখ্যা , , নেওয়া হলো, যেন জোড় হয়। -এর সর্বোচ্চ মান কত?
শর্তটা জোড় হওয়ার সমান। জোড় (দুটি বিজোড়, একটি জোড়), তাই সর্বোচ্চ ।
আসে না দেখে কমালে, আর তা বিজোড়ও; ও অপ্রয়োজনে ছোট।
ও দুটি মৌলিক সংখ্যা এবং । -এর মান কত?
বিজোড় হলে জোড়, তাই এবং — অসম্ভব। তাই , , ; । ভিন্ন পথে: থেকেও একই ফল।
শুধু -এর মান; হলো ; আসে যোগ করলে।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
ও মৌলিক সংখ্যা, যেন । কত?
হলে অসম্ভব, তাই বিজোড়: । তখন , অর্থাৎ । এটি মৌলিক শুধু -এ: , , ।
আসে , ধরলে, কিন্তু মৌলিক নয়; শুধু ; হলো ।
দুটি মৌলিক সংখ্যা ও এমন যে । কত?
, দুটিই বিজোড় হলে জোড়, কিন্তু বিজোড়; তাই , , । । (বা -এর ভাগ থেকে।)
হলো ; হলো ; আসে , নিলে, কিন্তু মৌলিক নয়।
একটি গাছে শুরুতে টি ডাল। প্রথম বিভাজনে ডালের সংখ্যা দ্বিগুণ হয়, পরের বিভাজনে তিনগুণ, তারপর আবার দ্বিগুণ — এভাবে পালা করে চলে। বার বিভাজনের পর প্রতিটি ডালে একটি করে পাতা গজায়। পাতার সংখ্যা , যেখানে , পূর্ণসংখ্যা ও । কত?
দ্বিগুণ বার, তিনগুণ বার, তাই পাতা । পরিসরে -এর ঘাত শুধু , তাই ।
, কিন্তু পরিসরের বাইরে; আসে ঘাত অর্ধেক না করলে; আসে -কেই ঘাত ধরলে।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
একটি গাছে প্রথমে টি ডাল। বিভাজনে ডালের সংখ্যা পালা করে প্রথমে দ্বিগুণ, পরে চারগুণ হয় (, , , , …)। বার বিভাজনের পর ডালের সংখ্যা , যেখানে , পূর্ণসংখ্যা ও । কত?
বার ও বার , তাই ডাল । পরিসরে -এর ঘাত শুধু , তাই , ।
আসে থেকে ( পরিসরের বাইরে); আসে থেকে; আসে বারই ধরে নিলে।
শুরুতে টি ডাল; প্রতিটি বিভাজনে ডাল পালা করে দ্বিগুণ ও তিনগুণ হয় (প্রথমে দ্বিগুণ)। বার বিভাজনের পর ডালের সংখ্যা , যেখানে । কত?
ডাল । ও -এর মাঝে -এর ঘাত শুধু , তাই , ।
, কিন্তু পরিসরের বাইরে; ; আসে ঘাত দিয়ে ভাগ না করলে।
ঠিক টি ধনাত্মক ভাজক আছে এমন ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা কত?
। নিলে ঘাত , বড় ঘাত ছোট মৌলিকে: । অন্য ভাঙনগুলো দেয় , , — সব বড়।
( ভাঙন) আর () — ভাজক টি, কিন্তু ছোটতম নয়; -এ ঘাত উল্টো বসানো হয়েছে।
পূর্ণ সমাধান ও বিকল্প পদ্ধতি: এই টপিকের লেকচার শিটে।
যে ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ঠিক টি ভাজক আছে, সেটি কত?
নিলে ঘাত : । অন্য ভাঙন: , , ।
ও -এর ভাজকও টি, কিন্তু ছোট; -এর ভাজক মাত্র টি।